무한확률(확률)

확률론에서 확률분포는 임의의 수의 독립적이고 동일하게 분포된 (i.d.) 랜덤 변수의 합계의 확률분포로서 표현될 수 있다면 무한히 분리될 수 있다.무한히 분리할 수 없는 분포의 특성 함수를 무한히 분리할 수 있는 특성 함수로 부른다.^[1]null

보다 엄격하게, 확률 분포 F는, 모든 양의 정수 n에 대해, 합계 S_n = X_n1 + + + X를_nn 갖는 n.i.d. 랜덤 변수 X_n1, ..., X가_nn 존재한다면 무한히 분할할 수 있다.null

확률 분포의 무한 구분 개념은 1929년 브루노 데 피네티에 의해 도입되었다.분포의 이러한 유형의 분해는 특정 모델이나 용도에 자연적인 선택이 될 수 있는 확률 분포의 패밀리를 찾기 위해 확률과 통계에 사용된다.무한히 분리할 수 없는 분포는 한계 이론의 맥락에서 확률 이론에서 중요한 역할을 한다.^[1]null

예

무한히 분할할 수 없는 연속 분포의 예로는 정상 분포, Cauchy 분포 및 안정 분포 계열의 다른 모든 구성원과 감마 분포 및 학생의 t 분포가 있다.null

이산형 분포 중에서 포아송 분포와 음이항 분포(따라서 기하 분포도 포함)가 그 예다.가능한 결과만 0인 1점 분포도 무한히 분할된다.null

균일분포와 이항분포는 무한히 분할할 수 없으며, 위에서 언급한 원포인트분포 외에 경계지원이 있는 다른 분포(가칭 유한한 크기의 영역)도 없다.^[2]학생의 t-분포를 갖는 랜덤 변수의 역수 분포도 무한히 분할되지 않는다.^[3]null

모든 복합 포아송 분포는 무한히 분리될 수 있다. 이는 정의에서 바로 따라온다.null

한계 정리

무한히 분리할 수 없는 분포는 중심 한계 정리의 넓은 일반화에서 나타난다: S_n = X_n1 + + X의 합이 n → + x인 삼각형 배열 내의 독립적으로 균일하게 무증상적으로 무시할 수 있는(U.a.n) 랜덤 변수의 한계인_nn 것이다.

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}X_{11}\\\x_{22}\\X_{31}&X_{32}\\\vdots &\vdots &\dodots \end{array}}}}}}}}}$

접근 방법 - 약한 의미에서는 무한히 분리할 수 없는 분포.균일하게 무증상적으로 무시할 수 있는 (U.a.n.) 조건은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \lim _{n\to \ft }\,\max _{1\leq k\leq n}\;P(\왼쪽 X_{nk}\오른쪽)=0{\text{\barepsilon >0}={\text{}}}}.}$

따라서 예를 들어, 균일한 무증상 과소평가 조건(U.n)이 분산이 유한한 동일한 분포 랜덤 변수의 적절한 스케일링을 통해 충족되는 경우, 약한 수렴은 고전적 버전의 중심 한계 정리에서 정상 분포에 대한 것이다.보다 일반적으로 동일한 분포의 랜덤 변수(필수적으로 유한한 두 번째 모멘트가 있는 것은 아님)의 스케일링을 통해 U.N 조건이 충족되면 약한 수렴은 안정적인 분포에 도달한다.반면, U.A. 조건이 충족되는 독립적(비늘링되지 않은) 베르누이 랜덤 변수의 삼각 배열의 경우.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \inflt }np_{n}=\data ,}$

합계의 합이 약한 것은 소수 법칙의 익숙한 증거에서 알 수 있듯이 평균 mean을 가진 포아송 분포에 대한 것이다.null

레비 공정

무한히 분리할 수 없는 확률 분포는 레비 공정에 자연적인 방법으로 대응된다.어디에 고정 s을 위해<>를 의미한다 정치 독립적인 증가,,, 창작의 확률 분포를 가진 레비 과정은 통계적 과정{그것은:t≥ 0}− 여기서 t−에서 지금까지 유일하고 독립적인 증가가 그 차이점은 − 여기서 어떤 간격과 중복된다며지 않는 수출국에 해당의 차이점 독립을 의미한다 달려 있다. [s, t], 그리고 유사하게 상호 비간격의 유한한 수에 대해서도.null

만약 { L_t : t ≥ 0 }이(가) 레비 공정이라면, 임의의 t ≥ 0에 대해 무작위 변수 L은_t 무한히 분할될 것이다: n에 대해서는 (X_n1n2, X, …, X) = (L_t/n - L_0t/n, L_2t/n, …, L_t - L_(n−1)t/n)를_nn 선택할 수 있다.마찬가지로 L_t - L은_s 어떤 s < t에 대해서도 무한히 분리할 수 있다.

한편 F가 무한히 분할할 수 있는 분포라면, 그것으로부터 레비 공정 { L_t : t ≥ 0 }을(를) 구축할 수 있다.t - s > 0이 합리적인 숫자 p/q와 같은 모든 간격 [s, t]에 대해 우리는_t L - L을_s 정의하여_q1 X + X_q2 + … + X와_qp 동일한 분포를 가질 수 있다. t - s > 0의 비합리적인 값은 연속성 인수를 통해 처리된다.null

첨가공정

An additive process ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$ (a cadlag, continuous in probability stochastic process with independent increments) has infinitely divisible distribution for any ${\displaystyle t\geq 0}$. Let ${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$ be its family of in분할 분배null

${\displaystyle \{{}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$} ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$\{\$mu _{t$}\}_${t\geq$ 0$}}}}$은(는) 여러 가지 연속성 및 단조성 조건을 만족한다$$.Morover, if a family of infinitely divisible distribution ${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$ satisfies the same continuity and monotonicity conditions there exists (uniquely in law) an Additive process with this distribution ${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$. ^[4]

참고 항목

• 크라메르 정리
• 외설배분포
• 복합 포아송 분포

각주

참조

• J.A. 도밍게스몰리나;로차-아르테아가, A.(2007) "일부 치우친 대칭 분포의 무한 구분성에 대하여"통계 및 확률 문자, 77(6), 644–648 doi:10.1016/j.spl.2006.09.014
• Steutel, F. W. (1979년), "이론과 실천의 무한 구분"(토론과 함께), 스칸디나비아 통계학 저널 6, 57–64.
• Steutel, F. W.와 Van Harn, K.(2003), Real Line에 대한 확률 분포의 무한 구분성(Marcel Dekker)