디락 빗

수학에서 디락 빗(Shah 함수, 임펄스 트레인 또는 샘플링 함수로도 알려져 있음)은 공식과 함께 주기적인 강화 분포다^[1][2].

${\displaystyle \operatorname {\text{ш} _{T}(t)\ :=\sum _{k=-\infit }^{\infit }\delta(t-kT)}$

일정 기간 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$여기서 t는 실제 변수로서, 합계가 모든 정수 k에 걸쳐 있고 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은 디락 델타 함수, 또한 강화 분포를 나타낸다$$. 함수는 형상이 함수의 그래프(오른쪽 표시)와 유사한 키릴 문자 샤(SHA)로 표시된다.

마침표가 생략된 기호$$$(t$ ) {\$displaystyle$\operatorname ${\text{{text}}(t)}$는 단위 기간의 Dirac 조합을 나타낸다. 이것은 내포하고 있다.

${\displaystyle \operatorname {\text{{ш}} _{T}(t)\ ={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{text{t}}}\좌측({\frac {t}{T}\오른쪽).}$

디락 빗 함수는 주기적이기 때문에 푸리에 시리즈로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {\text{{1}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\flitty }^{\e^{i2\pi n{\frac{T}}}}.}$

디락 빗 함수는 푸리에 시리즈를 참조하지 않고 강화 분포에 대한 연속 푸리에 분석의 단일 프레임워크에서 샘플링 및 앨리어싱과 같은 연속 및 이산 현상을 모두 나타낼 수 있다. 디락 빗의 푸리에 변환은 또 다른 디락 빗이다. 포아송 합계 공식으로 판명된 강화 분포에 대한 콘볼루션 정리 때문에, 신호 처리에서 디락 빗은 그것과 함께 곱셈에 의한 샘플링을 모델링할 수 있지만, 그것과의 콘볼루션에 의한 모델링 기간도 가능하다.^[3]

디라크-콤바 정체성

Dirac 빗은 두 가지 방법으로 구성될 수 있다. 즉, 지속적으로 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$인 기능에 적용된 빗 연산자(시료채취 수행)를 사용하거나$,$ 또는 Dirac 델타 $\Delta {\displaystyle }${\$displaystyle \delta }$에 적용된 rep 연산자(수행 주기화)를 사용한다$.$ 형식적으로, 이 수확량(우드워드 1953; Brandwood 2003)

${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{{}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\delta \}}}$

어디에

${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$ and ${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\inft$$y }\,g(t-kT).$$}$

In signal processing, this property on one hand allows sampling a function ${\displaystyle f(t)}$ by multiplication with ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$, and on the other hand it also allows the periodization of ${\displaystyle f(t)}$ by convolution with ${\displaystyle \ope$$ratorname {\text{{T} _{T}($Bracewell 1986). 디락 빗 정체성은 강화 분포를 위한 콘볼루션 정리의 특별한 경우다.

스케일링

디락 빗의 스케일링 특성은 디락 델타 함수의 속성에서 따온 것이다. $\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \Delta }$( ${\displaystyle \frac{t}{}}$) ${\$ $({\frac${$t}{a$$}\$$right)}$ 양수 $실수$에 $대해$ 다음과$$^[4] 같이 된다$.$

${\displaystyle \operatorname {\text{{ш} _{T}\왼쪽(t\오른쪽)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{text{t}}}\좌측({\frac {t}{T}\오른쪽),}$

${\displaystyle \operatorname {\text{{ш}} _{aT}\왼쪽(t\오른쪽)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{{text}}}\왼쪽({\frac {t}{a)T}}\오른쪽)={\frac {1}{a}\operatorname {\text{{t}} _{T}\왼쪽({\frac {t}{a}\오른쪽).}$

음수 대신$$ $양$의 스케일링 번호 a ${\displaystyle a}$을(를) 요구하는 것은 제한되지 않는다는 점에 유의하십시오. 음수 기호는 결과에 영향을 미치지 않는$$$ш{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 합계 순서만 역전시킬 수 있기 때문이다.

푸리에 시리즈

${\displaystyle ш{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \operatorname {\text{ш}} _{T}(t)$이 기간 $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle T}$과(와) 주기적이라는$$ 것은 분명하다$.$ 즉,

${\displaystyle \operatorname {\text{{text} _{T}(t+T)=\operatorname {\text{T}} _{T}(t)}$

십중팔구 그러한 주기적 함수에 대한 복잡한 푸리에 시리즈는

${\displaystyle \operatorname {\text{text{time} _{T}(t)=\sum _{n=-\inflt }^{n}^{n}e^{i2\pi n{\frac}{t}{t}{}{}}}}}{}}}}}}{T}},}$

푸리에 계수가 있는 위치(기호)

${\displaystyle {\displaysty}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{text} _{T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{{}{T}}}\,dt\quad(-\inflit <t_{0}<+\inflit )\\&={\frac {1}{{}}{\fracT}}\int _{-{\frac {T}{2}}^{\frac {T}{2}}\operatorname{\text{{T}}}_{T}(t)e^{-i2\pi n{\frac}{t}{\frac}{t}}{\frac}{t}{t}}}}}}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{{\frac}{}{\frac}}{\}}{\frac}}{\frac}}}}{\}}}}}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{정렬}}}$

모든 푸리에 계수가 1/T이므로

${\displaystyle \operatorname {\text{{1}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\flitty }^{\e^{i2\pi n{\frac{T}}}}.}$

기간이 하나의 단위일 때, 이렇게 단순화된다.

${\displaystyle \operatorname {\text{{}}}}=\sum _{n=-\nft }^{\nft }e^{i2\pi nx}.}$

비고: Dirac 델타 함수를 포함한 모든 제품에 대한 Riemann 또는 Lebesgue 통합은 0이다. 이러한 이유로, 위의 통합(푸리에 시리즈 계수 결정)은 "일반화된 함수 의미에서" 이해되어야 한다. 디락빗에 적용되는 구간의 특성 함수를 사용하는 대신 소위 라이트힐 유니터리 함수를 컷아웃 함수로 사용한다는 뜻인데 자세한 내용은 라이트힐 1958, 페이지 62, 정리 22를 참조한다.

푸리에 변환

디락 빗의 푸리에 변형도 디락 빗이다. $이$는 f ${\displaystyle f}$이(가) ${\displaystyle \frac{\mathrm{1T}}{}}$ ${\$의 정수 배수일 때마다 모든 Fourier 구성요소가 건설적으로 추가된다는 점을 고려할 때 명백하다.$T$

일반 주파수 영역(Hz)으로(Hz):

${\displaystyle \operatorname {\text{{ш} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}{\long leftarrow}}{\frac {1}{}{\long lefrontarrow}{{{}}}}}{{}}}}}}}T}}\operatorname{\text{n3} _{\frac {1}{T}=\sum _{n=-\infit }^{\e^{-i2\pi fnT}.}$

특히 단위 기간인 디락 빗은 그 자체로 변형된다.

${\displaystyle \operatorname {\text{ш}(t){\stackrel {\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}}\operatorname {\text{ш})(f).}$

구체적인 규칙은 사용되는 푸리에 변환의 형태에 따라 달라진다. 각도 주파수(라디안/s)의 단일 변환을 사용할 경우 규칙은

${\displaystyle \operatorname {\text{{{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}{{\long leftarrow}}{\frac {\sqrt{2\pi}}}}}{\p}}}}}{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T}}\operatorname{\text{{text{{{t}}{T}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt{2\pi}}}}\sum _{n=-\infort }^{-i\omeganT}.}$

샘플링 및 앨리어싱

Dirac 빗에 어떤 기능을 곱하면 그것은 빗의 노드에서 기능의 값과 동일한 통합성을 가진 임펄스 열로 변한다. 이 작업은 샘플링을 나타내기 위해 자주 사용된다.

${\displaystyle(\operatorname {\text{text}) _{T}x(t)=\sum _{k=-\inflt }^{k=-\delta(t-kT)=\sum _{k=-\infty}^{}x(kT)\delta(t-kT)}$

디락 빗과 콘볼루션 정리의 자기 변환 특성 때문에, 이것은 주파수 영역에서 디락 빗과의 콘볼루션에 해당한다.

${\displaystyle \operatorname {\text{{ш} _{T}x\quad {\stackrel {\mathcal {F}{\longleftrightarrow }}}\quad {\frac {1}{{{T}}}}}}}}T}}\operatorname {\text{{1}} _{\frac {1}{T}*X}$

델타 함수 $\Delta {\displaystyle (t}$- ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle \delta(t-kT)}$을(를) 가진 콘볼루션은 ${\displaystyle k}$ T ${\displaystyle kT}$에 의해 기능을 이동하는 것과 같으므로$$$,$ Dirac 빗과의 콘볼루션은 복제 또는 주기적인 합산에 해당한다.

${\displaystyle(\operatorname {\text{{1}) _{\frac {1}{T}*X(f)=\sum _{k=--\flatty }^{\notty }X\left(f-{\frac {k}{{k}{}{}}{{}}}}{}}}}{}}}}}T}\오른쪽),}$

이것은 나이키스트-샤논 샘플링 정리의 자연스러운 공식화로 이어진다. 함수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 스펙트럼이 B보다 높은 주파수(즉, ${\displaystyle \mathrm{스펙트럼}}$이 구간$({\displaystyle }$- ${\displaystyle B}$, B${\displaystyle }$) ${\displaystyle(-B,B$를 포함하지$$ 않는 경우, $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 1/2B}$ 간격으로 원래 함수의 샘플은 원래 신호를 재구성하기에 충분하다$$. 샘플링된 함수의 스펙트럼에 적절한 직사각형 함수를 곱하면 충분하며, 이는 벽돌벽 저역 통과 필터를 적용하는 것과 동등하다.

${\displaystyle \operatorname {\text{{1}{2B}x\quad {\stackrel {\mathcal {F}{{\longleftrightarrow }}}}}\operatorname {\text{B}}_{2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}B}}\Pi \왼쪽({\frac {f}{2)B}}\오른쪽)(2B\,\operatorname {\text{{{}} _{2B}*X)=X}$

시간 영역에서는 이 "직장 함수가 있는 곱셈"은 "신크 함수가 있는 콘볼루션" (우드워드 1953, 페이지 33-34)과 동등하다. 따라서 샘플에서 원래 기능을 복원한다. 이것은 휘태커-샤논 보간 공식으로 알려져 있다.

비고: 가장 엄격하게, 디락 빗과 같이 일반화된 기능을 가진 직장 기능의 곱셈은 실패한다. 이것은 구간 경계에서 곱셈 제품의 미정 결과 때문이다. 해결책으로 직장기능 대신 라이트힐 단일기능을 사용한다. 그것은 간격 경계에서 부드러워서 어디에서나 결정된 곱셈 제품을 생산한다. 자세한 내용은 라이트힐 1958, 페이지 62, 정리 22를 참조하라.

방향 통계에 사용

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 비소싱 소재에 도전하여 제거할 수 있음(2017년 10월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

방향 통계에서 기간 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$의 Dirac comb는 래핑된 Dirac 델타 함수와 동일하며 선형$$ 통계에서 Dirac 델타 함수와 유사하다.

선형 통계에서 랜덤 변수$({\displaystyle x}$) ${\displaystyle (x)}$은 보통 실수 라인 또는 그 일부 하위 집합에 분포하며$$, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 확률 밀도는 실제 숫자의 집합이며, -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\ft }$부터${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaysty$}까지의 적분을 갖는 함수다$$.$le +\ft }$은(는) 단결이다$$. 방향 통계에서 랜덤 변수(${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle (\theta )}$은 단위 원 위에$$ $분포$하며, 확률 밀도$${\$displaystyle \teta}$은 도메인$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ 길이 2$π$의 실제 숫자의 일부 구간이며, 그$$ 간격에 대한 적분은 통일이다. 실제 숫자 라인 위에 임의 함수를 가진 Dirac 델타 함수의 제품에서 0으로 그 함수의 값을 산출하는 것과 마찬가지로, 단위 원 위에$$ 임의 함수가 2 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$인 Dirac 콤비의 제품에서는 t가 산출된다.그는 그 기능을 영(0)으로 평가한다.

참고 항목

• 주파수 빗
• 포아송합산식

참조

추가 읽기

• Brandwood, D. (2003), Fourier Transforms in Radar and Signal Processing, Artech House, Boston, London.
• Córdoba, A (1989), "Dirac combs", Letters in Mathematical Physics, 17 (3): 191–196, Bibcode:1989LMaPh..17..191C, doi:10.1007/BF00401584
• Woodward, P. M. (1953), Probability and Information Theory, with Applications to Radar, Pergamon Press, Oxford, London, Edinburgh, New York, Paris, Frankfurt.
• Lighthill, M.J. (1958), An Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions, Cambridge University Press, Cambridge, U.K..