반 후툼 분포

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반 후툼 분포

확률 질량 함수
매개변수	${\displaystyle p_{a},p_{b}\in [0,1]{\text{ 및 }a,b\in \mathb {Z}{\text{}, }a\leq b}$
지원	$\\displaystyle k\in \{a,a+1,\pair,b-1,b\}\,}$
PMF	${\displaystyle {\begin{cases}p_{a}&{\text{if }}u=a;\\p_{b}&{\text{if }}u=b\\{\frac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}}&{\text{if }}a<u<b\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\textrm {if}}u<a;\\p_{a}&{\text{if }}u=a\\p_{a}+\lfloor x-a\rfloor {\frac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}}&{\text{if }}a<u<b\\1&{\text{if }}u\geq b\end{cases}}}$
평균	${\displaystyle ap_{a}+bp_{b}+(1-p_{a}-p_{b}){\frac {a+b}{2}}}}$
모드	해당 없음
분산	${\displaystyle \ a^{2}p_{a}+b^{2}p_{b}-{}\}$ ${\displaystyle {\frac {(a+b)(1-p_{a}-p_{b}+2ap_{a}+2bp_{b}}{4}}}}}$ ${\displaystyle {}+{\frac {b(2b-1)(b-1)-a(2a+1)(a+1){6}}}$
엔트로피	${\displaystyle \ -p_{a}\ln(p_{a})-p_{b}\ln(p_{b}-}\}$ ${\displaystyle (1-p_{a}-p_{b}\ln \left({\frac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}\오른쪽)}$
MGF	${\displaystyle e^{ta}p_{a}+e^{t}bp_{b}+{\frac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}{b-1}{\frac {e^{e+1)-e^{e^{t:1}}$
CF	${\displaystyle e^{ita}p_{a}+e^{itb}p_{b}+{\frac {1-p_{a}-p_{b-1}:{b-a-1}{b-a-1}{\frac {e^{e+1)-e^{e^{it}-1}}}}}}}}}}}}}$

확률 이론과 통계에서 Van Houtum 분포는 프로파일의 이름을 딴 이산 확률 분포다.게르트-잔 반 후툼.^[1]가능한 값의 유한 집합의 모든 값이 이 집합에서 가장 작고 가장 큰 요소를 제외하고 동등하게 개연성이 있다고 말해 특징지을 수 있다.반 후툼 분포는 이산형 균일 분포의 일반화(즉, 그것의 경계에서 가능한 경우를 제외하고 균일하기 때문에, 준 통일 분포라고도 한다.

일부 이산형 랜덤 변수와 관련하여 이용할 수 있는 유일한 정보가 첫 두 순간인 경우가 규칙적이다.Van Houtum 분포는 이러한 모멘트에 유한 지지로 분포를 적합시키는 데 사용될 수 있다.

Van Houtum 분포의 간단한 예는 변조된 주사위를 1번 주사위보다 2배 더 자주 6번 착륙에 던질 때 발생한다.표본 공간의 가능한 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이다.주사위를 던질 때마다 2, 3, 4 또는 5를 던질 확률은 1/6이고, 1을 던질 확률은 1/9이고, 6을 던질 확률은 2/9이다.

확률 질량 함수

랜덤 변수 U는 확률 질량 함수가 다음과 같은 경우 Van Houtum(a, b, p_b, p_a) 분포를 가진다.

${\displaystyle \Pr(U=u)={\begin{cases}p_{a}&{\text{if }}u=a;\\[8pt]p_{b}&{\text{if }}u=b\\[8pt]{\dfrac {1-p_{a}-p_{b}}{b-a-1}}&{\text{if }}a<u<b\\[8pt]0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

피팅 절차

랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 평균 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$과(와) 변동 계수 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ c$^{2}}.$$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을(를) Van Houtum 분산 랜덤 변수로 사용한다고 가정합시다.$그런{\displaystyle }$ 다음$$$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U$$}$의 처음 두 모멘트가 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $a$$\},$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$\},$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$$a{\displaystyle {}_{}}$$}$ 및$$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\${b$$$$$}$의 두 모멘트와 일치하면$$ 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle{\begin{정렬}a&, =\left\lceil \mu -{\frac{1}{2}}\left\lceil{\sqrt{1+12c^{2}\mu ^{2}}}\right\rceil\right\rceil \\[8pt]b&,=\left\lfloor \mu +{\frac{1}{2}}\left\lceil{\sqrt{1+12c^{2}\mu ^{2}}}\right\rceil\right\rfloor \\[8pt]p_{b}&, =ᆹ-A-(a^{2}-A)(2\mu -a-b)(a-b)}{a^{2}+b^{2}-2A}}\\[8pt]p_{를}&a.융점^{\frac{2\mu-a-b}{a-b}+p_{b}\[12pt]{\text{}{\where{}A&={\frac {2a^{2}+a+2ab-b+2b^{2}{2}}}{6}}.\end{aigned}}}$

$[\displaystyle \mu }$과 ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 모든 조합에 대해 Van Houtum 분포가 존재하지 않는다$.$ 모든 실제 $평균{\displaystyle }$ μs$[\$$displaystyle$$\mu$ $}}$의 경우 분산이 최소인 정수의 이산$$ 분포가${\displaystyle \mathrm{\mu s}}$μs에 집중된다는 사실을 $사용함으로써$$또는 \mu \rfloor }$과(와)${\displaystyle \mu }$ μ${\displaystyle \lceil$ 다음과 $같은$ 경우 Van Houtum 분포(또는 실제로 정수의 이산 분포)를 처음 두 순간에만 장착할 수 있는지 쉽게 확인할 수 있다.

${\displaystyle c^{2}\mu ^{2}\geq (\mu -\lfloor \llloor )(1+\mu -\lceil \lceil \loor )^{2}+(\mu -\lceil \rceil )^{2}}$

참고 항목

• 균일분포(분포)

참조