분할 정규 분포

확률 이론과 통계에서, 2-피스의 정규 분포라고도 알려진 분할 정규 분포는 같은 모드지만 분산이 다른 두 정규 분포의 해당 반쪽을 결합하는 것으로부터 발생한다.존슨 외에서는 이 배포가 기븐스와 몰로이에가^[2], 존이 도입했다고 주장하고 있다.^[1][3]그러나 이것들은 구스타프 테오도르 페슈너 (1801년-1887년)의 사후에 출판된 콜렉티브마슬레르 (1897년)^[4]에 소개된 즈웨이스티게 가우스의 스키 게세츠 (Zweiseitige Gussche Gesetz)의 여러 독자적인 재발견 중 두 가지다. 왈리스 (2014년)를 참조하라.^[5]놀랍게도, 최근 금융 저널에 또 다른 재발견이 나타났다.^[6]null

분할-정규 분포

표기법	${\displaystyle {\mathcal{SN}(\mu ,\,\sigma _{1},\sigma _{2})}$
매개변수	${\displaystyle ㎕\in }$ ∈ ${\displaystyle \mu \in \Re }$ —$$ 모드(위치, 실제) 1> ${\displaystyle \sigma _{1}>0}$ — 왼쪽 측면 표준 편차(척도, 실제) 2> ${\displaystyle \sigma _{2}>0}$ — 우측 표준 편차(척도, 실제)
지원	$\Displaystyle x\in \Re }$
PDF	${\displaystyle A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}:{1}^{2}}\오른쪽)\quad{\text{}}}}$ ${\displaystyle A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}\sigma_{2}^{2}}\오른쪽)\쿼드 {\text{otherwise,}}}}$ ${\displaystyle {\text{where}\quad A={\sqrt{2/\pi}}}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}$
평균	${\displaystyle \mu +{\sqrt {2/\pi }}}(\displayma _{2}-\ma _{1})}$
모드	$\displaystyle \mu }$
분산	${\displaystyle (1-2/\pi )(\displayma _{2}-\ma _{1}^{2}+\ma _{1}\ma _{2}}:$
왜도	${\displaystyle \gamma _{3}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\left[\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}\right]}$

정의

분할 정규 분포는 공통 모드에서 정규 분포의 두 확률 밀도 함수(PDF) 중 두 개의 반대편 반쪽을 병합하여 발생한다.null

분할 정규 분포의 PDF는 다음을^[1] 통해 제공된다.

${\displaystyle f(x;\mu ,\ma _{1},\ma _{2}=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}: 시그마 _{1}^{2}}:\오른쪽)\쿼드 {\text{}}x<\mu}}$

${\displaystyle f(x;\mu ,\ma _{1},\ma _{2}=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}\sigma _{2}^{2}}\오른쪽)\quad {\text{otherwise}}}}}$

어디에

${\displaystyle \quad A={\sqrt {2/\pi }}}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}^{1}.}$

토론

분할된 정규 분포는 정규 분포의 두 반쪽을 병합하여 발생한다.일반적인 경우 '상위' 정규 분포는 서로 다른 분산을 가질 수 있으며, 이는 결합된 PDF가 연속적이지 않음을 의미한다.결과 PDF가 1과 통합되도록 하기 위해 정규화 상수 A를 사용한다.null

$\sigma {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 =${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ $\$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}${\$displaystyle$ \$sigma _{$1}^{1}^{$2}=\sigma _{2}^=\$$sigma _{*}^{2}}: 분산$ 정규 분포로$$ 분할 정규 분포가 감소하는 특수한 경우$.$

상수₂ A를 a a하면 정규 분포의₁ 상수와는 다르다.그러나 $\sigma {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ =${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}^{2$}=\sigma _{2}^=\sigma _{*}^{2}}:$ 상수가$$ 같을 때 상수는 같다.null

세 번째 중심 모멘트의 부호는 차이에₂₁ 의해 결정된다.이 차이가 양수이면 분포가 오른쪽으로 치우치고 음수이면 왼쪽으로 치우친다.null

분할된 정상 밀도의 다른 특성들은 존슨 외 연구원과 훌리오에 의해 논의되었다.^[1][7]null

대체 제형식

위에서 논한 공식은 존에서 비롯된다.^[3]문헌은 수학적으로 동등한 두 가지 대체 매개변수를 제공한다$.$ 브리튼, 피셔 및 $휘틀리$는^[8] 모드, 분산 및 정규화된 왜도 항을 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ $N$ μ, ${\displaystyle \mu {}^{}}$,$$,$γ$)으로 표시하면 매개변수를 제공한다$.$파라미터 μ는 모드로서 John의 공식에서 모드와 동등하다.매개변수 0>0은 분산(척도)에 대해 알려 주므로 분산과 혼동해서는 안 된다.세 번째 파라미터인 , ∈(-1,1)은 정규화된 스큐이다.null

두번째 대안 parameterization는 영국 은행의 통신에서 모드 분산과unnormed 비대칭도 차원에서 또 SN(μ, σ 2, ξ){\displaystyle{{초신성 SN\mathcal}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\xi)}로 지적되 있다. 이 입안에서 매개 변수 μ은 모드와 존의[3]에 동일한 많이 사용됩니다.한d 브리튼, 피셔, 휘틀리의 공식화.매개변수 σ은 분산(척도)에 대해 알려주고 브리튼, 피셔, 휘틀리의 공식과 동일하다.모수 ξ은 분포의 평균과 모드의 차이와 같으며 왜도의 비표준 측정값으로 볼 수 있다.null

세 가지 매개변수는 수학적으로 등가인데, 이는 매개변수 사이에 엄격한 관계가 있으며, 한 매개변수에서 다른 매개변수로 가는 것이 가능하다는 것을 의미한다.다음과 같은 관계가 유지된다.^[9]

${\displaystyle{\begin{정렬}\sigma ^{2}&, =\sigma _ᆯ^ᆰ(1+\gamma)=\sigma _ᆱ^ᆲ(1-\gamma)\\\gamma&={\frac{\sigma_{2}-\sigma _{1}}{\sigma_{2}+\sigma _{1}}}\\\xi&={\sqrt{2/\pi}}(\sigma_{2}-\sigma_{1})\\\gamma&=\operatorname{sgn}(\xi){\sqrt{1-\left({\frac{{\sqrt{1+2\beta}}-1}{\beta}}\right)^{2}}},\quad{\text{.어디}}\quad \beta ={\frac {\pi \xi ^{2}}:{2\bamma ^{2}}.\end{정렬}}}$

다변량 확장

분할 정규 분포의 다변량 일반화는 빌라니와 라르손에 의해 제안되었다.^[10]이들은 각 주요 성분의 모수 μ, μ₂₁, and의 집합이 다른 일변량 분할 정규 분포를 갖는다고 가정한다.

모수 추정

John은^[3] 최대우도법을 사용하여 모수를 추정할 것을 제안한다.그는₂ 우도함수가 위치₁ 파라미터 μ의 함수인 강도 높은 형태로 표현될 수 있음을 보여준다.집약적인 형태의 가능성은 다음과 같다.

${\displaystyle L(\mu )=-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}}$

단일 파라미터 μ에 대해서만 수치적으로 최대화해야 한다.null

최대우도 추정기 $\mu {\displaystyle \hat{}}$ ${\$을(를) 고려할 때 다른 파라미터는$$ 다음 값을 취한다.

${\displaystyle {\hat {\sigma }{1}^{2}={\frac {-L(\mu )}{{N}\{n}\\sum _{x_{i}x_{i}<\mu }}}}\mu }{2}-\ri}}^{2/3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}{2}^{2}={\frac {-L(\mu )}{{N}\\\sum _{x_{i}}}}\mu }}}}}}{i}-\i}\mu }^{2/3}}}$

여기서 N은 관측치의 수입니다.null

Villani와 Larsson은^[10] 최대우도법이나 베이지안 추정을 사용할 것을 제안하고 일변량 및 다변량 사례에 대한 분석 결과를 제공한다.null

적용들

분할 정규 분포는 주로 계량법과 시계열에서 사용되어 왔다.주목할 만한 적용 분야는 전 세계 중앙은행을 대상으로 한 인플레이션에 의해 보고된 인플레이션 예측 분포를 나타낸 팬 차트 구축이다.^[7][11]null

참조