복합정규 분포

복합정규격

매개변수	${\displaystyle ㎕\in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}$\in \mathb {C} ^{n}$ —$$ 위치 ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ n ${\$ —$$ 공분산 행렬(양수 반확정 행렬) ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ n$}$ —$$ 관계 행렬(복잡한 대칭 행렬)
지원	${\displaystyle \mathb{C} ^{n}}$
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평균	$\displaystyle \mathbf {\mu }}$
모드	$\displaystyle \mathbf {\mu }}$
분산	$\displaystyle \Gamma }$
CF	${\displaystyle \exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}}}$

확률론에서 C ${\displaystyle \mathcal{N}}$ ${\$CN$}$ 또는$$ $N{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle C_{\mathcal{}}}$ ${\$로 표시된 복잡한 정규 분포의 계열은 실제 부분과 가상 부분이 공동으로 정규화된 복잡한 랜덤 변수의 특징을 나타낸다$.$^[1]복합 정상 패밀리에는 위치 파라미터 μ, 공분산 행렬 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma$ $\},$ $관계{\displaystyle }$ 행렬 C ${\displaystyle C}$의 세 가지 파라미터가 있다$.$$표준{\displaystyle \mathrm{}}$ 콤플렉스 정규 $분포$는${\displaystyle \mathrm{\mu }}$ = 0 ${\displaystyle \mu$=0$\},$ ${\displaystyle 1}$= 1$${\$displaystyle \Gamma =1$ ${\displaystyle \mathrm{C}}$= $0{\displaystyle }${\$displaystyle C=0$이다.

복잡한 정상적인 가족의 중요한 서브 클래스는circularly-symmetric(중앙) 복잡한 정상과 영화 관계 매트릭스와 제로 평균의 경우에 해당합니다:μ)0{\displaystyle\mu =0}, C=0{C=0\displaystyle}.[2]이 사건은 광범위하게 어디 그것은 때때로 단지 사로 여기어 진다 신호 처리에 사용된다라고 불린다mpl문헌상으로는 정상이다null

정의들

복잡한 표준 정규 랜덤 변수

표준 복합 일반 랜덤 변수 또는 표준 복합 가우스 랜덤 변수는 복합 랜덤 변수 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이며, 실제 및 가상 부분은 평균 0과 $분산{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle 1/2}$을(를) 갖는 독립 정규 분포 랜덤 변수 입니다$.$^{[3]: p. 494 [4]: pp. 501} 정식으로,

여기서 $Z{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathcal{C}}$ N${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ Z$\sim {\mathcal{$CN$}(0,1$)은$$ Z ${\displaystyle Z}$이(가) 표준 복합 랜덤 변수임을 나타낸다$$.null

복잡한 정규 랜덤 변수

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$ ${\displaystyle Y}$이$({\displaystyle }$가${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ ${\$과(${\displaystyle 와}$) 같은 실제 랜덤 변수라고 가정합시다.그런 다음 복합 랜덤 변수 $Z{\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z=X+iY}$을(를) 복합 정규 랜덤 변수 또는 복합 가우스 랜덤 변수라고 한다$$.^{[3]: p. 500} null

복합 표준 정상 랜덤 벡터

Z)(Z1,…, Zn)T{\displaystyle \mathbf{Z}=(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm{T} 다차원 복잡한 확률 벡터}}는 복잡한 표준 정상적인 확률 벡터적이거나 복잡한 표준 가우스 무작위 벡터의 구성 요소와 독립적인 그들의 모든 것이 있는 일반 복잡한 정상적인 확률 변수 위에서 정의되어 있다.[3]:페이지의 주 502개[4]:를 대신하여 서명함. 501.$이{\displaystyle \mathbf{}}$ Z$${\$displaystyle \mathbf {Z}$이(가) 표준 복합 랜덤 벡터인 것을 $Z{\displaystyle \mathbf{}}$~ ${\displaystyle \mathcal{C}}$ N${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal{$CN$}(0,{\boldmboldmbol{I}_{n}}})$로 표시됨$.$

복잡한 정규 랜덤 벡터

If ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }}$ are random vectors in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ such that ${\displaysty$$le [\mathbf {X} ,\mathbf {Y}}}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$ 성분으로 구성된 정규 랜덤 벡터다.그러면 우리는 복잡한 무작위 벡터가

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,}$

복잡한 정규 랜덤 벡터 또는 복잡한 가우스 랜덤 벡터.null

평균, 공분산 및 관계

복잡한 가우스 분포는 다음과 같은 3가지 매개변수로 설명할 수 있다.^[5]

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],}$

여기서 $Z{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는)^{[3]: p. 504 [4]: pp. 500} $Z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\${$Z$$}$$}$ }의 전치 행렬을$$ 나타내고$$, $Z{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${\$displaysty \mathbf {Z} ^{\mathrmatrmatrm}}}}}}}}}}}}}$은 결합 전치수를 나타낸다.null

여기서 위치 파라미터 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) n차원 복합 벡터, 공분산 행렬 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 에르미타인이며 음수가 아닌 한정된 것이며, 관계 행렬 $또는{\displaystyle }$ 유사 공분산 행렬 C ${\\displaystyc}$은 대칭이다.이제 복잡한 정규 랜덤 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ Z ${\$를) 다음과 같이 나타낼 수 있다$$.

또한 행렬 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ 및 $C$ ${\displaystyle C}$은 행렬과 같다.

${\displaystyle P={\overline {\Gamma }-{C}^{\mathrm {H}}\Gamma ^{-1}C}$

γ의$${\$displaystyle {\overline {\\$Gamma}}이(가$)$ ${\displaystyle \Gamma}$의 복잡한 결합을 나타내는$$ 경우에도 음이 아닌 것이 확실하다$.$^[5]

공분산 행렬 간의 관계

As for any complex random vector, the matrices ${\displaystyle \Gamma }$ and ${\displaystyle C}$ can be related to the covariance matrices of ${\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )}$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}$ via expressions

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E}[(\mathbf {Y} -\mu_{Y})(\mathbf {Y} -\mu_{Y})^{\mathrm {T}}={\tfrac {1}{1}:{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\ed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:$

반대로

${\displaystyle {\begin{aigned}&\Gamma =V_{XX}+V_{{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{정렬}}$

밀도함수

복잡한 정규 분포에 대한 확률 밀도 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(z)&, ={\frac{1}{\pi ^{n}{\sqrt{\det(\Gamma)\det(P)}}}}\,\exp\!\left\{-{\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline{z}}-{\overline{\mu}})^{\intercal}&,(z-\mu)^{\intercal}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma&.C\\{\overline{C}}&{\overline{\Gamma}}\end{pmatrix}}^{\.\와 같이!)}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline{z}}-{.\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}$

여기서 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\gamma }^{}{\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 및$$ $P{\displaystyle }$= ${\displaystyle \gamma \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ^${\displaystyle }$^ ^ - ${\displaystyle R}$ C ${\displaystyle$ P$={\overline {\Gama }-RC$

특성함수

복합 정규 분포의 특성 함수는 다음과^[5] 같다.

${\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}$

$여기$서 ${\displaystyle w}$ 인수는 n차원 복합 벡터다$$.null

특성.

• If ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ is a complex normal n-vector, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ an m×n matrix, and ${\displaystyle b}$ a constant m-vector, then the linear transform ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b}$ will be distributed also complex-normally:

${\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })}$

• $Z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 복잡한$$ 일반 n-벡터인 경우

${\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}$

• 중앙 한계 정리.$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$이(가) 독립적이고 동일하게 분포된 복합 랜덤 변수라면,

${\displaystyle {\sqrt{T}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\텍스트스타일 \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E}[Z_{t}]{\Big )}\\\x오른쪽 화살표 {d}\\\\mathcal {CN}(0,\,\Gamma ,\,C),}$

where ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]}$ and ${\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}$.

• 복합 정규 랜덤 변수의 계수는 Hoyt 분포를 따른다.^[6]

원형대칭 중심 케이스

정의

A complex random vector ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ is called circularly symmetric if for every deterministic ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$ the distribution of ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$ equals the distribution of ${\displaystyle \mathbf {Z} }$$$.^{[4]: pp. 500–501}

원형으로 대칭되는 중심 정상 복합 랜덤 벡터는 공분산 행렬 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$에 의해 완전히 지정되기 때문에 특히 관심이 많다$.$

원형 대칭(중앙) 복합 정규 분포는 0 평균과 0 관계 행렬의 경우에 해당한다$.$^{[3]: p. 507 [7]} 즉, $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu =0}$ 및$$ $C{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C=0}.$ 이것은 일반적으로 표시된다.

${\displaystyle \mathbf {Z}\sim {\mathcal {CN}(0,\,\Gamma )}$

실제 및 가상 부품의 분포

If ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ is circularly-symmetric (central) complex normal, then the vector ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ is multivariate normal with covariance structure

${\displaystyle{\begin{pmatrix}\mathbf{X}\\\mathbf{Y}\end{pmatrix}})\sim\와 같이{{N\mathcal}}{\Big(}{\begin{bmatrix}\operatorname{리}\,\mu\\\operatorname{나는}\,\mu \end{bmatrix}},\}{\begin{bmatrix}\operatorname{리}\,\Gamma&-\operatorname{나는}\\\operatorname{나는}\,\Gamma 및 \,\Gamma,{\tfrac{1}{2}\operatorname{리}\,\Gamma \end{bm.atrix}}{\Big )}}}$

where ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0}$ and ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}$.

확률밀도함수

비정렬 공분산 행렬 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$의 경우 분포도 다음과^{[3]: p. 508} 같이 단순화할 수 있다$.$

${\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}}$.

따라서 0이 아닌 평균 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ 및$$ 공분산 행렬 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$을(를) 알 수 없는$$ 경우 단일 관측 벡터 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$에 적합한 로그우도 함수가 될 것이다$$.

${\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma )=-\ln(\detail(\Gama ))-{\overline {(z-\mu )}}}\Gamma^{-1}(z-\mu )-n(\pi).}$

표준 복합 정규 분포(Eq.1에서 정의됨)는${\displaystyle \mathrm{\mu }}$ = 0 ${\displaystyle \mu =0$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \mathrm{C}}$ = 0$${\$displaystyle C=0$},$$${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$= 1 ${\displaystyle \Gamma =1}$의 스칼라 랜덤 변수의 분포에 대응하므로 표준 복합 정규 분포는 밀도가 있다$.$

${\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }e^{-{\\ip}z}={\tfrac {1}{\pi }e^{-z}}={\tfrac {1}{\pi ^{2}}.}$

특성.

위의 표현은 사례 ${\displaystyle \mathrm{C}}$= 0 ${\displaystyle C=0},$${\displaystyle \mathrm{\mu }}$= 0 ${\displaystyle \mu =0}$이(가) "원형 대칭"이라고 불리는$$ 이유를 보여준다.밀도 함수는 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$의 크기에만 의존하지만$$ 인수에 의존하지는 않는다.이와 같이 표준 복합 일반 랜덤 변수의 ${\displaystyle 진도}$ z $displaystyle$z$}$은(는) Rayleigh 분포를 가지며, 제곱 ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ z 2 ${\$^{$2}}$는 지수 분포를 가지며$$, ${\displaystyle \mathrm{인수}}$는${\displaystyle }[{\displaystyle }$ - ${\displaystyle ,}$ , ]${\displaystyle }$]$${\$displaystyle [-\pi$]에 균일하게 분포한다.$,\pi$ $]\}.$

$\{{\displaystyle Z{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\_{\displaystyle }$${k}\right\}}}}}}$이(가) 독립적이고 μ =${\displaystyle 0}$ = ${\displaysty \mu = 0인$ n차원 원형 복합 일반 랜덤 벡터가 동일하면 정규 제곱이 된다$.$

${\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{H}}\mathbf {Z} _{j}=\sum{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\{j}\{j}}\{2}}$

일반화된 카이-제곱 분포와 랜덤 행렬이 있음

${\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{j}^{\mathrm {H}}}}}}}}}}$

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$자유도를$$ 갖는 복잡한 위시아트 분포.이 분포는 밀도 함수로 설명할 수 있다.

${\displaystyle f(w)={\frac {\det(\감마 ^{-1})^{k-n}}{k-n}}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}{k-j!}}}\ e^{-\operatorname {tr}(\Gamma ^{-1}w)}}}}}$

$여기$서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge n}$ ${\displaystyle k\geq$ n$}$및 w ${\displaystyle w}$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle n}$ $×$ n {\$displaystyle$ n$\n}$ 비음극 $행렬$이다.null

참고 항목

• 복합정규비분포
• 방향 통계#평균 분포(극형)
• 정규 분포
• 다변량 정규 분포(복잡한 정규 분포는 이변량 정규 분포)
• 일반화 카이-제곱 분포
• 위시아트 분포
• 복합 랜덤 변수

참조

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2011년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

추가 읽기

• 볼슐래거, 다니엘."ShotGroups."Hoyt. RDocumentation, N.D. 웹. https://www.rdocumentation.org/packages/shotGroups/versions/0.7.1/topics/Hoyt.
• 갤러거, 로버트 G(2008)"원형-대칭 가우스 랜덤 벡터."(n.d): n. 페이지사전 인쇄.웹. 9. http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf.