Voigt 프로필

(중심) 보이크트

확률밀도함수 네 가지 경우에 대한 중심 Voigt 프로필 그림. 각각의 케이스는 거의 3.6의 절반으로 전폭이다. 검은색과 빨간색 프로파일은 각각 가우스( ga =0) 프로파일과 로렌츠(σ =0) 프로파일의 제한 사례다.
누적분포함수
매개변수	$\displaystyle \filency,\disma >0}$
지원	$(-\displaystyle x\in (-\flatty,\flatty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\re [w(z)]}}{\\sqrt {2\pi }}},~~z={\frac {x+i\i\}{\sqrt {2}}:}$
CDF	(문자 - 텍스트 참조)
평균	(정의되지 않음)
중앙값	${\displaystyle 0}$
모드	${\displaystyle 0}$
분산	(정의되지 않음)
왜도	(정의되지 않음)
엑스트라 쿠르토시스	(정의되지 않음)
MGF	(정의되지 않음)
CF	${\displaystyle e^{-\displaystyle t^{-\putma ^{2}/2}}:$

Voigt 프로파일(Woldemar Voigt의 이름을 따서 명명)은 Cauchy-Lorenz 분포와 가우스 분포의 콘볼루션에 의해 주어지는 확률 분포다. 분광학이나 회절의 데이터를 분석하는 데 자주 사용된다.

정의

일반성의 상실 없이 0으로 정점을 이루는 중심 프로필만 고려할 수 있다. 그러면 Voigt 프로필이

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\nft }^{\nft }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}$

여기서 x는 선 중심으로부터의 이동이고, $G{\displaystyle (x}$; ${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle G(x;\sigma )}$은 중심 가우스 프로파일:

${\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}{\sigma {\sqrt{2\pi }}}},}$

및 $L{\displaystyle (x}$; ${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle L(x;\gamma )}$은(는) 중심 로렌츠 프로파일:

${\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi(x^{2}+\gamma ^{2}}}}.}$

정의 적분은 다음과 같이 평가할 수 있다.

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re}[w(z)]}}{\\ma {\sqrt {2\pi }}},}$

여기서 Re[w(z)]는 다음에 대해 평가된 Faddeeva 함수의 실제 부분이다.

${\displaystyle z={\frac {x+i\propert}{\sqrt {2}}}.}$

In the limiting cases of ${\displaystyle \sigma =0}$ and ${\displaystyle \gamma =0}$ then ${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )}$ simplifies to ${\displaystyle L(x;\gamma )}$ and ${\displaystyle G(x;\sigma )}$, respectively.

기록 및 응용 프로그램

분광학에서 Voigt 프로파일은 두 가지 확대 메커니즘의 경련에서 비롯된다. 그 중 하나는 가우스 프로파일(일반적으로 도플러 확장의 결과로)을 생성하며, 다른 하나는 로렌츠 프로파일을 생성한다. 음성 프로필은 분광 및 회절의 많은 가지에서 공통적이다. Faddeeva 함수의 계산 비용 때문에, Voigt 프로파일은 사이비-Voigt 프로파일을 사용하여 근사치되는 경우가 있다.

특성.

Voigt 프로필이 정규화됨:

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\\infit }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,}$

정규화된 프로파일의 경합이기 때문에 로렌츠 프로파일의 모멘트는 (제로스 이외의) 모멘트가 없으므로, 카우치 분포에 대한 모멘트 생성 함수는 정의되지 않는다. 따라서 Voigt 프로파일에도 모멘트 생성 함수가 없을 것이지만, Cauchy 분포의 특성 함수는 정규 분포의 특성 함수와 마찬가지로 잘 정의되어 있다. 그러면 (중심) Voigt 프로파일에 대한 특성 함수는 다음 두 개의 제품이 될 것이다.

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt}=e^{-\sigma^{2}/2-\gamma t}}}}}$

정규 분포와 카우치 분포는 안정적인 분포이므로 각각 콘볼루션(척도 변경까지)에 의해 폐쇄되며, Voigt 분포도 콘볼루션에 따라 폐쇄되는 것으로 이어진다.

누적분포함수

z에 대해 위의 정의를 사용하여 누적분포함수(CDF)는 다음과 같이 확인할 수 있다.

${\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int_{-\inflt }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re}(z)}}{{\sigma {2\pi }}}\\\dx=\operatorname {Re} \좌({\frac {1}{\sqrt{\pi }}}\int_{z(-\inflt )^{z(x_})\,dz\right.}$

Faddeeva 함수(스케일링된 복합 오류 함수)의 정의를 무한 적분으로 대체하는 경우:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }\}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}\int e^{-z^{2}}\좌측[1-\jerf}(-liz)\dz,},}}}$

어느 것이든 양보할 수 있는.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}$

여기서 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$ 초기하 함수다. x가 음의 무한대에 가까워질 때(CDF가 그래야만 하는 것처럼) 함수가 0에 근접하기 위해서는 1/2의 통합 상수를 추가해야 한다. 이는 Voigt의 CDF에 해당된다.

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}$

중심적이지 않은 Voigt 프로필

가우스 프로파일이 ${\displaystyle {\mu G}_{}}$ ${\$에, 로렌츠 프로파일 ${\displaystyle {\mu L}_{}}${\$displaystyle$$\$에 중심이 맞춰진 경우$,$ 콘볼루션은 $μG$+$μ$ ${\displaystyle L_{}}$에 중심을 두고 특성$$ 함수는 μG + μL에 집중된다.

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma t }.}$

모드와 중위수는 모두 ${\displaystyle {\mu }_{}}$ G${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ L ${\$에 위치한다$.$

파생 프로파일

첫 번째와 두 번째 파생상품 프로파일은 다음과 같이 Faddeeva 함수의 관점에서 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}V(x;\sigma,\gamma )=-{\frac {\properatorname {Re}[z~w(z)]}{\sigma ^{2}{\sqrt{\pi }}}=-{\frac {x}{\sigma ^{2}}{\frac {\\operatorname {Re} [w(z)]}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}+{\frac {\gamma ^{\sigma ^}{\frac {\operatorname {Im} [w(z)]}}{\\ma {\sqrt {2\pi }}};}$

${\displaystyle {\frac {\partial^{2}}:{\partial x^{2}}V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {x^{2}-\gamma^{2}-\sigma^{4}}{\frac {\operatorname{w(z)]}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}-{\frac {2x\gamma ^}{4}}{\frac {\operatorname {Im} [w(z)]}}{\fracma{\sqrt{2\pi }}}+{\frac {\fracma ^{4}{\frac {1}{\pi }},}$

z에 대해 위의 정의 사용.

Voigt 함수

Voigt 함수^[1] U, V, H(라인 확장 함수라고도 함)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {}{4t}e^{2}}\\operfc}(z)={\sqrt {\frac {}{4t}w}w(이즈),}}$

${\displaystyle H(a,u)={\frac {U(u/a,1/4a^{2}}{a{a{\sqrt{\pi}},}$

어디에

${\displaystyle z=(1-ix)/2{\sqrt{t},}$

erfc는 보완적 오류 함수, w(z)는 Faddeeva 함수다.

Voigt 프로필과의 관계

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )=H(a,u)/({\sqrt{2}}:{\sqrt{\pi }}}}),}$

와 함께

${\displaystyle a=\propert /({\sqrt{2}\properma )}$

그리고

${\displaystyle u=x/({\sqrt{2}}\ma ).}$

숫자 근사

테퍼-가르시아 함수

독일-멕시코의 천체물리학자 토르 테퍼-가르시아의 이름을 딴 테퍼-가르시아 함수는 지수함수와 합리적인 함수의 조합으로, 광범위한 매개변수에$$ 걸쳐 $선확대함수{\displaystyle }$ H${\displaystyle (,u)}$ ${\displaystyle H(a,u)}$에 근접한 것이다.^[2] 그것은 정확한 라인 확장 함수의 잘린 전력 직렬 확장으로부터 얻어진다.

가장 계산적으로 효율적인 형태에서 테퍼-가르시아 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle T(a,u)=R-\왼쪽(a/{\sqrt{\pi\오른쪽)~\왼쪽[R^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right}$

$여기$서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathrm{Q}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 3${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( 2 ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle$ Q$\equiv$ 3$/(2P$ $그리고{\displaystyle }$ R${\displaystyle {}^{}}$ e -${\displaystyle p^{}}${\$displaystyle$ R$\equiv$ e$^{-P$

따라서 선 확대 함수는 순수한 가우스 함수와 흡수 매체의 미세한 특성에 선형적으로 의존하는 보정 계수로 볼 수 있으나$({\displaystyle a}$에 인코딩됨)$$ 직렬 확장의 초기 절단 결과 근사치의 오차는 여전히 o이다.rder $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a$ 예: ${\displaystyle H}$( ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle u}$) ${\displaystyle \approx }$ T${\displaystyle (,u}$) +${\displaystyle O\mathcal{}}$( ) ${\displaystyle$ H $(a,u)\약간의 T (a$,u$)+{\mathcal {O$ 이 근사치에는 다음과 같은 상대적 정확도가 있다.

${\displaystyle \epsilon \equiv {\fract H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}$

${\displaystyle \lesssim }$ ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle 4^{}}$${\displaystyle }$${\$가 제공된다면 $u$ )의 전체 파장 범위에 걸쳐 있다$.$ 높은 정확도 외에도 $){\displaystyty T(a,u)}$는 기능 구현이 용이하고$$ 계산적으로도 빠르다. 퀘이사 흡수선 분석 분야에서 널리 사용되고 있다.^[3]

의사-음성 근사치

의사-Voigt 프로파일(또는 의사-Voigt 함수)은 가우스 곡선 G(x)와 로렌츠 곡선 L(x)의 결합을 그들의 경련 대신 사용한 Voigt 프로파일 V(x)의 근사치다.

사이비 voigt 함수는 종종 실험 스펙트럼 라인 형상의 계산에 사용된다.

정규화된 의사 voigt 프로파일의 수학적 정의는 다음과 같다.

${\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}$ with ${\displaystyle 0<\eta <1}$.

${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$은(는) 반최대(FWHM) 매개 변수의 전체 너비 함수다.

$\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$ 매개$$ 변수에 대해 몇 가지 가능한 선택이 있다.^[4][5][6][7] 1%까지 정확한 간단한 공식은^[8][9]

${\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.1116(f_{L}/f)^{3}}}$

여기서 ${\displaystyle \eta }}$은(는)$$ 로렌츠(${\displaystyle f_{}}$ L$${\$displaystyle f_{L}),$ 가우스(${\displaystyle f_{}}$ G$${\$displaystyle f_{G$ 및 총(${\displaystyle }$ ${\displaystyf$ 파라미터의 함수다$$. 총 FWHM(${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$) 매개변수는 다음과 같이 설명된다.

${\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}$

Voigt 프로파일의 너비

Voigt 프로파일의 전체 폭(FWHM)은 연관된 가우스 폭과 로렌츠 폭의 폭에서 찾을 수 있다. 가우스 프로파일의 FWHM은

${\displaystyle f_{\mathrm {G}}}=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}.}$

로렌츠 프로파일의 FWHM은

${\displaystyle f_{\mathrm {L}}}=2\gamma.}$

Voigt, Gaussian 및 Lorenzian 프로파일의 너비 사이의 대략적인 관계(약 1.2% 이내까지 정확한)^[10]는 다음과 같다.

${\displaystyle f_{\mathrm {V}\관련 f_{\mathrm {L}/2+{\sqrt {f_{}^{2}/4+f_{\mathrm {G}^{2}}.}$

구성상 이 표현은 순수한 가우스나 로렌츠인에게 정확하다.

0.02%의 정확도로 더 나은 근사치를 제시한다.

${\displaystyle f_{\mathrm {V}\약 0.5346f_{\mathrm {L}}+{0.2166f_{\mathrm {L}^{2}+f_{\mathrm {G}{}}^{{}}}}}}}}}.}$

다시 말하지만, 이 표현은 순수한 가우스나 로렌츠인에게는 정확하다. 같은 출판물에서는 약간 더 정밀하면서도(0.012%) 훨씬 더 복잡한 표현을 찾을 수 있다.^[11]

참조

외부 링크

• http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, 숫자 C 라이브러리는 복잡한 오류 기능을 제공하며 약 13-14자리 정밀도의 voigt(x, 시그마, 감마) 함수를 제공한다.
• 원본 기사는: Voigt, Woldemar, 1912, "Das Gesetz der Intensitethtsverteilung innerhalb der Linien eines Gaspektums"), Sitzungsberict der Akademie der Wissenschaften, 25, 603(또한 참조: http://publikationen.badw.de/de/003395768)