평균장 입자법

평균장 입자 방법은 비선형 진화 방정식을 만족하는 일련의 확률 분포로부터 시뮬레이션을 위한 광범위한 상호작용 유형 몬테카를로 알고리즘이다.^[1][2][3][4]이러한 확률 측정의 흐름은 항상 현재 랜덤 상태의 분포에 따라 전환 확률이 달라지는 마르코프 공정의 랜덤 상태의 분포로 해석될 수 있다.^[1][2]이러한 정교한 비선형 마코프 프로세스를 시뮬레이션하는 자연스러운 방법은 진화 방정식에서 무작위 상태의 미지분 분포를 샘플링된 경험적 측도로 대체하면서 프로세스의 많은 복사본을 샘플링하는 것이다.전통적인 몬테카를로 및 마르코프 체인 몬테카를로 방법과 대조적으로 이러한 평균장 입자 기술은 순차적으로 상호작용하는 샘플에 의존한다.평균 영역이라는 용어는 각 표본(입자, 개인, 보행자, 에이전트, 생물 또는 표현형)이 프로세스의 경험적 측정과 상호 작용한다는 사실을 반영한다.시스템의 크기가 무한대로 되는 경향이 있을 때, 이러한 무작위 경험적 측정은 비선형 마르코프 체인의 무작위 상태의 결정론적 분포에 수렴하여 입자 사이의 통계적 상호작용이 사라지게 된다.즉, 비선형 마르코프 체인 모델의 초기 상태에 대한 독립적 복사본을 기반으로 하는 혼란스러운 구성으로부터 시작하여, 시스템이 무한대로 경향이 있는 크기에 따라 혼돈은 언제든지 전파된다. 즉, 유한한 입자 블록이 비선형 마르코프 프로세스의 독립적 복사본으로 감소한다.이 결과를 혼돈 속성의 전파라고 한다.^[5][6][7]"혼돈의 제안"이라는 용어는 1976년 마크 칵이 충돌 평균장 운동성 가스 모델에 대한 작업에서 비롯되었다.^[8]

역사

평균장 상호작용 입자모델의 이론은 확실히 1960년대 중반에 헨리 P의 연구로 시작되었다. McKean Jr.는 Markov에 대한 해석으로 유체역학에서 발생하는 비선형 포물선 부분 미분 방정식의 종류에 대해 설명했다.^[5][9]모델의 이 클래스의 수학적 재단은 1980년대 중반부터 1990년대 중반에에서 베르너 브라운, 클라우스 Hepp,[10]칼 Oelschläger,[11][12][13]제라르 벤 아루스와 MarcBrunaud,[14]도널드 도슨, 장 Vaillancourt[15]과 위르겐 Gärtner,[16][17]기독교 Léonard,[18]실비 Méléard, Sy를 포함한 몇몇 수학자들에 의해 개발되었다.Lvie Roelly,[6]Alain-Sol Sznitman[7][19].확산형 모델의 경우 다나카^[20] 히로시; F.알베르토 그룬바움,^[21] 토쿠조 시가, 다나카 히로시,^[22] 실비 멜레아드, 칼 그레이엄이^[23][24][25] 점프-확산 과정을 상호작용하는 일반 수업을 한다.

우리는 또한 테오도르 E의 앞선 선구적인 기사를 인용한다. Harris와 Herman Kahn은 1951년에 출판되었는데, 입자 전달 에너지를 추정하기 위해 평균적이긴 하지만 휴리스틱과 같은 유전적 방법을 사용했다.^[26]평균장 유전형 입자법은 진화 컴퓨팅에서 휴리스틱 자연 검색 알고리즘(예: 메타휴리스틱)으로도 사용된다.이러한 평균 영역 계산 기법의 기원은 1950년과 1954년으로 거슬러 올라갈 수 있으며, 유전자형 돌연변이 선택 학습 기계에^[27] 관한 앨런 튜링의 연구와 뉴저지 프린스턴의 고급 연구 연구 연구소의 닐스 아올 바리첼리의 기사로 추적할 수 있다.^[28][29]호주의 유전학자 알렉스 프레이저도 1957년 유기체의 인위적 선택의 유전자형 시뮬레이션에 관한 논문을 연재했다.^[30]

Quantum Monte Carlo, 그리고 더 구체적으로는 Disposition Monte Carlo 방법 또한 파인만-Kac 경로 통합의 평균 필드 입자 근사치로 해석될 수 있다.^{[3][4][31][32][33][34][35]}양자 몬테카를로 방법의 기원은 종종 엔리코 페르미와 로버트 리히트마이어가 1948년에 중성자 체인 반응의 평균적인 자기장 입자 해석법을 개발하였지만,^[36] 최초의 휴리스틱스적, 유전적 형태의 입자 알고리즘(a.a)에 기인한다.(축소된 매트릭스 모델에서) 양자 시스템의 지상 상태 에너지 추정을 위한 재표본 또는 재구성 몬테카를로 방법)은 잭 H에 기인한다.1984년^[35] 헤서링턴 분자 화학에서, 유전적 휴리스틱스 같은 입자 방법의 사용(예: 가지치기 및 농축 전략)은 1955년 마샬의 정석적인 작업으로 거슬러 올라갈 수 있다.N. 로젠블루스와 아리안나.W. 로젠블루트.^[37]

NeilGordon, 데이비드 연어, 또는 아드리안 스미스(부트 스트랩 필터)[38]Genshiro 기타가와(몬테카를로 필터),[39]과 Himilcon 카르발류, 피에르 델 도덕, 앙드레 Monin과 제라르-건배 경우 40에 의해 이러한heuristic-like 입자 방법의 응용에 대한 비선형 필터링 문제의 첫번째 선구적인 기사들이 개별적 연구들.나나 되니까 출판되1990년대에상호작용하는 "입자 필터"라는 용어는 델 모랄에 의해 1996년에 처음 만들어졌다.^[41]입자 필터는 1989-1992년 초 P에 의해 신호 처리에서도 개발되었다.델 모랄, J.C.Noyer, G. Rigal, and G. Salut in the LAAS-CNRS in a series of restricted and classified research reports with STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), the IT company DIGILOG, and the LAAS-CNRS (the Laboratory for Analysis and Architecture of Systems) on RADAR/SONAR and GPS signal processing problems.^{[42][43][44][45][46][47]}

유전형 모델과 평균적인 필드 파인만-카크 입자법의 융합에 대한 기초와 첫 번째 엄격한 분석은 1996년 피에르 델 모랄^[48][49] 때문이다.모집단 크기가 다양한 분기형 입자법도 1990년대 말 댄 크리스찬, 제시카 게인스, 테리 라이온스에 의해 개발되었고, ^[50][51][52]댄 크리스찬, 피에르 델 모랄, 테리 라이온스에 의해 개발되었다.^[53]평균장 입자 모델에 대한 시간 매개변수에 관한 최초의 균일한 수렴 결과는 1990년대 말 피에르 델 모랄과 앨리스 기온넷이^[54][55] 점프 유형 프로세스를 상호작용하기 위해, 플로렌트 말리우가 비선형 확산 유형 프로세스를 위해 개발했다.^[56]

파인만-Kac 경로 통합 문제에 대한 새로운 등급의 평균장 입자 시뮬레이션 기법에는 족보 기반 모델,^[2][3][57] 후진 입자 모델,^[2][58] 적응형 평균장 입자 모델,^[59] 섬형 입자 모델,^[60][61] 입자 마코프 체인 몬테 카를로 방법^[62][63] 등이 포함된다.

적용들

물리학에서, 그리고 더 특히 통계 역학에서, 이러한 비선형 진화 방정식은 유체나 어떤 응축 물질에서 미세하게 상호작용하는 입자의 통계적 행동을 설명하는 데 종종 사용된다.이 맥락에서 가상 유체나 기체 입자의 무작위 진화는 McKean-Vlasov 확산 프로세스, 반응-확산 시스템 또는 볼츠만 유형의 충돌 프로세스로 대표된다.^{[11][12][13][25][64]}이름에서 알 수 있듯이, 평균장 입자 모델은 미시적인 입자들이 그들의 직업적 조치와 약하게 상호작용하는 집단 행동을 나타낸다.이러한 다체 입자 시스템의 거시적 거동은 모집단의 크기가 무한대로 되는 경향이 있을 때 얻어진 제한 모델에 캡슐화된다.볼츠만 방정식은 희귀 가스에서 충돌 입자의 거시적 진화를 나타내며, 맥킨 블라소프 확산은 유체 입자와 세밀한 기체의 거시적 행동을 나타낸다.

계산 물리학에서, 그리고 더 구체적으로 양자 역학에서 양자 시스템의 지상 상태 에너지는 슈뢰딩거 연산자의 스펙트럼 상단과 연관된다.슈뢰딩거 방정식은 뉴턴의 고전역학의 두 번째 운동 법칙의 양자역학 버전이다(가속도의 질량 곱은 힘의 합이다).이 방정식은 분자, 아원자계의 원자, 우주와 같은 거시적 시스템을 포함한 일부 물리적 시스템의 파동 함수(양자 상태) 진화를 나타낸다.^[65]상상의 시간 슈뢰딩거 방정식(예: 열 방정식)의 해법은 전자적 또는 고분자적 구성과 일부 잠재적 에너지 함수의 집합에서 자유 진화 마르코프 프로세스(흔히 브라운 운동으로 표현됨)와 관련된 파인만-케이크 분포에 의해 주어진다.이러한 비선형 세미그룹의 긴 시간 거동은 슈뢰딩거 운영자의 최상위 고유값과 지상 상태 에너지와 관련이 있다.^{[3][32][33][34][35][66]}이러한 파인만-Kac 모델의 유전자형 평균장 해석은 몬테카를로(Resample Monte Carlo) 또는 확산 몬테카를로(Diffusion Monte Carlo) 방법이라고 불린다.이러한 분기형 진화 알고리즘은 돌연변이와 선택 전환에 기초한다.돌연변이 전환 중에 워커는 입자 구성의 잠재적 에너지 환경에서 무작위로 독립적으로 진화한다.평균 필드 선택 프로세스(양자 순간이동, 모집단 재구성, 재샘플링 전환 등)는 에너지 웰의 입자 흡수를 반영하는 피트니스 기능과 연관된다.상대 에너지가 낮은 구성은 중복될 가능성이 더 높다.분자 화학 및 통계 물리학에서 평균 필드 입자 방법은 일부 냉각 일정과 관련된 볼츠만-기브스 측정치를 샘플링하고, 이들의 정규화 상수(예: 자유 에너지 또는 분할 함수)를 계산하는 데도 사용된다.^{[2][67][68][69]}

컴퓨터 생물학에서, 그리고 더 구체적으로 말하면, 경쟁적 선택과 이동 메커니즘을 가진 공간 분지 프로세스는 또한 평균적인 유전적 유형 인구 역학 모델로 나타낼 수 있다.^[4][70]공간분할 과정의 점령조치의 첫 순간은 파인만-카크 분포 흐름에 의해 주어진다.^[71][72]이러한 흐름의 평균장 유전형 근사치는 이러한 분기 과정에 대한 고정된 모집단 크기 해석을 제공한다.^[2][3][73]소멸 확률은 일부 흡수 환경에서 진화하는 일부 마르코프 공정의 흡수 확률로 해석할 수 있다.이러한 흡수 모델은 파인만-케이크 모델로 표현된다.^{[74][75][76][77]}비멸종에서 조건화된 이러한 프로세스의 긴 시간 거동은 준항변성 측정,^[78] 야글롬 한계 또는 비선형 정규화된 파인만-Kac 흐름의 불변성 측정에 의해 동등한 방식으로 표현될 수 있다.^{[2][3][54][55][66][79]}

컴퓨터 과학에서, 그리고 특히 인공지능에서 이러한 평균적인 필드 유형의 유전 알고리즘은 복잡한 최적화 문제에 대한 유용한 해결책을 생성하기 위해 진화의 과정을 모방하는 무작위 검색 휴리스틱스로 사용된다.^[80][81][82]이러한 확률적 검색 알고리즘은 에볼루션 모델의 등급에 속한다.그 아이디어는 돌연변이와 선택 메커니즘을 사용하여 실현 가능한 후보 해결책의 집단을 전파하는 것이다.개인 간의 평균 필드 상호작용은 선택과 교차 메커니즘에 캡슐화된다.

평균 필드 게임과 멀티에이전트 상호작용 시스템 이론에서 평균 필드 입자 프로세스는 개인과 상호작용하는 복잡한 시스템의 집단 행동을 나타내기 위해 사용된다.^{[83][84][85][86][87][88][89][90]}이 맥락에서 평균 필드 상호작용은 에이전트 상호작용의 의사결정 과정에 캡슐화된다.에이전트 수가 무한대로 증가함에 따라 제한 모델을 에이전트^[91] 연속 모델이라고 부르기도 한다.

정보 이론에서, 그리고 더 구체적으로 통계 기계 학습과 신호 처리에서, 평균 필드 입자 방법은 일련의 관측치 또는 드문 사건의 계단식 사건과 관련하여 일부 무작위 프로세스의 조건부 분포로부터 순차적으로 샘플링하기 위해 사용된다.^{[2][3][73][92]}이산 시간 비선형 필터링 문제에서 부분적이고 잡음이 많은 관측치가 주어진 신호의 무작위 상태의 조건부 분포는 비선형 업데이트-확정 진화 방정식을 만족한다.업데이트 단계는 Bayes의 규칙에 의해 주어지며, 예측 단계는 채프만-콜모고로프 전송 방정식이다.이러한 비선형 필터링 방정식의 평균장 입자 해석하는 것은 유전자형 변이 단계 동안 selection-mutation 입자 algorithm[48]면 입자들은 독립적으로 사람이 다른 사람의 신호의 마르코프 전환에 따라 선택 단계 동안, 작은 상대적 가망성 가치관을 가진 입자들을 죽이는 일이야가 진화하고.교육,상대 값이 높은 값을 곱하는 동안.^[93][94]이러한 평균 필드 입자 기법은 다중 객체 추적 문제를 해결하는 데에도 사용되며, 보다 구체적으로 연관성 측도를^[2][73][95] 추정하는 데도 사용된다.

이러한 입자 모델의 연속 시간 버전은 강력한 최적 필터 진화 방정식 또는 쿠슈너-스트라토노티치 확률적 부분 미분 방정식의 평균 필드 모란형 입자 해석이다.^[4][31][94]이러한 유전형식은 입자 필터와 순차 몬테카를로 방법 또한 운영 연구와 통계 추론에 광범위하게 그리고 일상적으로 사용된다.^[96][97][98]'입자 필터'라는 용어는 델 모랄이 1996년 처음 만들었고,^[41] 류와 첸이 1998년 '순차 몬테카를로'라는 용어가 만들어졌다.부분 집합 시뮬레이션과 몬테카를로 분할^[99] 기법은 마르코프 체인 몬테카를로 돌연변이 전환이^{[67][100][101]} 장착된 파인만-카락 입자 모델의 특별한 예다.

평균 필드 시뮬레이션 방법의 그림

카운트 가능한 상태 공간 모델

평균장 시뮬레이션 알고리즘에 동기를 부여하기 위해 우리는 유한하거나 카운트 가능한 상태 공간 S로 시작하고 P(S)가 S에 대한 모든 확률 측정의 집합을 나타내도록 한다.진화 방정식을 만족하는 S의 확률 분포$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {\eta \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\cdots }$) ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )$의 순서를 고려하십시오.

${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi(\eta _{n})}$

(1)

일부, 비선형 매핑 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle S}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle P}$(${\displaystyle }$S )${\displaystyle }$. ${\displaystyle \Phi$ :$P(S)\to P(S$)}에$$ 대한 이러한 분포는 벡터에 의해 주어진다$.$

${\displaystyle \eta _{n}=(\eta _{n}(x))_{x\in S}}}$

다음을 만족하는 것:

${\displaystyle 0\leqslant \eta_{n}(x)\leqslant 1,\qquad \nolimits _{x\in S}\eta _{n}(x)=1.}$

따라서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$은$({\displaystyle s}$- ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle(s-1$) -unit$$ simplex에서 자체로 매핑된 것이며$$, 여기서 s는 세트 S의 카디널리티를 나타낸다.s가 너무 크면 (1)을 푸는 것은 난해하거나 계산적으로 매우 비용이 많이 든다.이러한 진화 방정식의 근사치를 위한 한 가지 자연스러운 방법은 평균장 입자 모델을 사용하여 순차적으로 상태 공간을 줄이는 것이다.가장 간단한 평균 필드 시뮬레이션 계획 중 하나는 Markov 체인에 의해 정의된다.

${\displaystyle \xi _{n}^{n(N)}=\왼쪽(\xi _{n}^{n1}1}1},\cdots ,\xi _{n}^{n,N)}\오른쪽)}$

제품 공간 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle N^{}}$ ${\$ S$^{N}$에서$$시작하며, 확률 ${\displaystyle {분포\mathrm{}}_{}}$ $\$ 0 {\$displaystyle \eta$_{$0}$ 및 기본$$ 전환

$\displaystyle \mathbf {P} \왼쪽(\왼쪽)\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right \xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)\left(y^{i}\right),}$

경험적으로 보아

${\displaystyle \eta _{n}^{{n}={\frac {1}{{N}}\sum _{j=1}{n1}1_{nxi _{n}^{n}}{n,j}}}}}}}}}$

여기서 $1{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 상태 x의 표시기 기능이다.

In other words, given ${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}}$ the samples ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N)}}$ are independent random variables with probability distribution ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$.이 평균 필드 시뮬레이션 기법의 근거는 다음과 같다.We expect that when ${\displaystyle \eta _{n}^{N}}$ is a good approximation of ${\displaystyle \eta _{n}}$, then ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ is an approximation of ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}\right)$$=\eta _{n+1$따라서 ${\displaystyle {\eta n}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$N}}$은 공통 확률 분포 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$ $){\$을(를) 가진 N 조건부 독립 랜덤 변수의 경험적 측정값으로$,$ ${\displaystyle {\eta n}_{}^{}}$ ${\displaystyle {+}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystysty \e_${{$n+1}^{$$N}}$은(는) ${\displaystyle {\eta n}_{}}$+ 1 ${\$의 좋은 근사치가 된다$$$.$

또 다른 전략은 수집품을 찾는 것이다.

${\displaystyle K_{\eta_{n}=\left(K_{\eta_{n})(x,y)\right)_{x,y\in S}$

P$$(S$)$에서 ${\displaystyle {\eta n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P}$( S${\displaystyle }$) ${\displaystyle \eta _{n}\$in P($S)}$에 의해 인덱싱된 확률적 매트릭스.

${\displaystyle \sum _{x\in S}\eta _{n}K_{n}{n}(x,y)=\Phi(\eta _{n})(y)=\eta _{n+1}(y)}$

(2)

This formula allows us to interpret the sequence ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$ as the probability distributions of the random states ${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$ of the nonlinear Markov chain model with초기 전환

$\displaystyle \mathbf {P} \왼쪽(\왼쪽){\overline{X}_{n+1}=y\right {\overline {X}_{n}=x\right)=K_{\eta_{n}(x,y),\qquad {\text{Law}}({\overline{X}_{n})=\eta _{n}.}$

방정식 (1)을 만족하는$$ 마르코프 $전환{\displaystyle {}_{}}$ K ${\displaystyle {{nn}_{}}_{}}${\$displaystyle K_{\eta_{n}}$의 컬렉션을 ${\displaystyle {\eta n}_{}}${\$displaystyle \eta_{n}$의 측정 순서에 대한 McKean 해석이라고 한다$.$(2)의 평균장 입자 해석은 이제 마르코프 체인에 의해 정의된다.

${\displaystyle \xi _{n}^{n(N)}=\왼쪽(\xi _{n}^{n1}1}1},\cdots ,\xi _{n}^{n,N)}\오른쪽)}$

제품 공간 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle N^{}}$ ${\$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 N 독립 랜덤 복사본부터 시작하여$$ 기본 전환

$\displaystyle \mathbf {P} \왼쪽(\왼쪽)\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right \xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y^{i}\right),}$

경험적으로 보아

${\displaystyle \eta _{n}^{{n}={\frac {1}{{N}}\sum _{j=1}{n1}1_{nxi _{n}^{n}}{n,j}}}}}}}}}$

$임의{\displaystyle \mathrm{}}$ 함수 $f{\displaystyle }$: S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbf{}}$ ${\$에 대한$$ 매핑 $ph$ {\displaystyle \Phi $}$의 일부 취약한 정규성 조건^[2]$:$$S\to \mathbf {R$ 우리는 거의 확실한 수렴을 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)}$

이러한 비선형 마코프 프로세스와 평균 자기장 입자 해석은 일반 측정 가능한 상태 공간에서 비동질 모델까지 시간적으로 확장될 수 있다.^[2]

파인만-케이크 모델

위에 제시된 추상적 모델을 설명하기 위해 확률적 $행렬{\displaystyle }$ M${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle {}_x}$ ${\displaystyle {,}_{}}$ y ${\displaystyle y_{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{y}}$$\in S}}$ 및 일부$$ $함수{\displaystyle }$ G${\displaystyle }$: S${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, 1 $){\displaystystyle G:$$S\to (0,1$ 우리는 이 두 개체와 매핑을 연결한다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Phi :P(S)\to P(S)\\(\eta _{n}(x))_{x\in S}\mapsto \left(\Phi (\eta _{n})(y)\right)_{y\in S}\end{cases}}\qquad \Phi (\eta _{n})(y)=\sum _{x\in S}\Psi _{G}(\eta _{n})(x)M(x,y)}$

Boltzmann-Gibbs는 다음에 의해 정의된$$ ψ ${\displaystyle G_{}}$(${\displaystyle {}_{}{\eta n}_{}}$ )${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)$를 측정한다.

${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)={\frac {\n(x)G(x)}{\sum _{z\in S}\eta(z)}}.}$

We denote by ${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$ the collection of stochastic matrices indexed by ${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$ given by

${\displaystyle K_{\eta_{n}(x,y)=\epsilon G(x)M(x,y)++(1-\epsilon G(x))\Phi (\eta _{n})(y)}$

일부 매개 $변수{\displaystyle }$ ${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}${\$displaystyle \epsilon \in [0,1$ 등식 (2)가 충족되는지 쉽게 확인한다.또한 (1)의 솔루션은 파인만-케이크 공식에 의해 주어진다는 것을 (예를^[3] 들어) 보여줄 수도 있다.

${\displaystyle \eta _{n}(x)={\frac {E\left(1_{x}(X_{n})\p=0}^{n-1}G(X_{p}\rig)}}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p}\오른쪽)}},}$

초기 분포 ${\displaystyle {\eta \mathrm{}}_{}}$ 0${\$\eta_{$0} 및$ Markov 전환 M과 함께$$ Markov 체인 X ${\displaystyle n_{}}$ ${\$

${\displaystyle f\mathbf{}}$: S${\displaystyle }$→ R ${\$$S\to \mathbf {R}$이$($가) 있다.

${\displaystyle \eta _{n}(f):=\sum _{x\in S}\eta _{n}f(x)={\frac {E\left(f(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1G(X_{p}}\rig)}}}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p}\오른쪽)}}}$

${\displaystyle \mathrm{G}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle G(x)=1$}이$($가$)$ 단위 함수이고 $ϵ{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \epsilon =$1}이라면$,$ 우리는 다음과 같다.

${\displaystyle K_{\eta_{n}(x,y)=M(x,y)=\mathbf {P} \left(\왼쪽)X_{n+1}=y\right X_{n}=x\right),\qquad \eta _{n}(x)=E\left(1_{x}(X_{n}\right)=\mathbf {P}(X_{n}=x).}$

그리고 그 방정식 (2)는 채프만-콜모고로프 방정식으로 감소한다.

${\displaystyle \eta _{n+1}(y)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)M(x,y)\qquad \Leftrightarrow \qquad \mathbf {P} \left(X_{n+1}=y\right)=\sum _{x\in S}\mathbf {P} (X_{n+1}=y X_{n}=x)\mathbf {P} \left(X_{n}=x\right)}$

이 Feynman-Kac 모델의 평균 필드 입자 해석은 확률 분포와 함께$$ 순차적으로 N 조건별 독립 랜덤 변수 ${\displaystyle {\mathrm{\xi n}}_{}^{}}$+ 1 ${\displaystyle N_{}^{}}$, i$){\$를 샘플링하여 정의된다.

${\displaystyle K_{n+1,\eta _{n}^{{N}}\왼쪽(\xi _{n}^{n}^{(N,i)}}}y\오른쪽)=\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\오른쪽)M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)+\left(1-\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)\sum _{j=1}^{N}{\frac {G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}{\sum _{k=1}^{N}G\left(\xi _{n}^{(N,k)}\right)}}}M\left(\xi _{n}^{(N,j)}y\right)}}$

In other words, with a probability ${\displaystyle \epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)}$ the particle ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ evolves to a new state ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ randomly chosen with the probability distribution $$${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)}$; otherwise, ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ jumps to a new location ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,j)}}$ randomly chosen with a probability proportional to ${\displaystyle G\$$left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}$ and evolves to a new state ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ randomly chosen with the probability distribution ${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right).$$}$ If ${\displaystyle G(x)=1}$ is the unit function and ${\displaystyle \epsilon =1}$, the interaction between the particle vanishes and the particle model reduces to a sequence of independent copies of the Markov chain ${\displaystyle X_{n}}$. When ${\displaystyle \epsilon =0}$ the mean field 위에서 설명한 입자 모델은 피트니스 기능 G와 돌연변이 전환 M을 가진 단순한 돌연변이 선택 유전 알고리즘으로 감소한다.이러한 비선형 마코프 체인 모델과 이들의 평균장 입자 해석은 일반 측정 가능한 상태 공간(전환 상태, 경로 공간 및 무작위 편차 공간 포함)과 연속 시간 모델에 대해 동일하지 않은 모델로 확장할 수 있다.^[1][2][3]

가우스 비선형 상태 공간 모델

우리는 방정식에 의해 순차적으로 정의된$$ 실제 값진 랜덤 변수$({\displaystyle X{\stackrel{\text{'}}{}0}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{\text{'}}{}1}_{\mathrm{}}}$ ,${\displaystyle ))}$의 시퀀스$({\$를 고려한다.

${\displaystyle {\X}_{n+1}=E\좌측(a\좌측)({\overline {X}_{n}\우측)b\좌측({\오버라인 {X}_{n}\우측)+c\좌측({\오버라인 {X}_{n}\우측)+\sigMA_{n}$

(3)

with a collection ${\displaystyle W_{n}}$ of independent standard Gaussian random variables, a positive parameter σ, some functions ${\displaystyle a,b,c:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,}$ and some standard Gaussian initial random state ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$. We let ${\displaystyle {\eta }_{}}$${\displaystyle n_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\eta_{$$n}$는 랜덤$$ 상태 ${\displaystyle X_{}}$의${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$확률 분포임$.$ 즉, 임의의 경계 측정 가능한 함수 f에 대해

${\displaystyle E\left(f({\overline {X}_{n}\오른쪽)=\int_{\mathbf {R}{f(x)\eta _{n}dx,}$

와 함께

${\displaystyle \mathbf {P} \left({\overline {X}_{n}\in dx\right)=\eta _{n}(dx)}$

적분은 르베그 적분이며, dx는 주 x의 극소수 이웃을 의미한다.체인의 마르코프 전환은 공식에 의해 측정 가능한 모든 경계 함수에 대해 주어진다.

$왼쪽(\displaystyle E\left(\왼쪽)f\왼쪽({\overline{X}_{n+1}\오른쪽)\오른쪽 {\overline {X}_{n}=x\오른쪽)=\int _{\mathbf {R}{{}K_{n}(x,dy)f(y),}}$

와 함께

${\displaystyle K_{\eta_{n}(x,dy)=\mathbf {P} \왼쪽(\왼쪽){\overline {X}}_{n+1}\in dy\right {\overline {X}}_{n}=x\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(y-\left[b(x)\int _{\mathbf {R} }a(z)\eta _{n}(dz)+c(x)\right]\right)^{2}\right\}}dy}$

조건부 기대치의 탑 특성을 이용하여 확률 분포 ${\displaystyle {distributionsn}_{}}$ ${\$이 비선형 방정식을 만족함을$$ 증명한다.

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\eta _{n+1}(dy)f(y)=\int _{\mathbf {R} }\left[\int _{\mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)\right]f(y)}$

모든 한계 측정 함수에 대해 f.이 방정식은 때때로 더 합성된 형태로 쓰여진다.

${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi \left(\eta _{n}\오른쪽)=\eta _{n}K_{\eta _{n}}\quad \Leftrightarrow \quad \eta _{n+1}(dy)=\left(\eta _{n}K_{\eta _{n}}\right)(dy)=\int _{x\in \mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)}$

이 모델의 평균 필드 입자 해석은 마르코프 체인에 의해 정의된다.

${\displaystyle \xi _{n}^{n(N)}=\왼쪽(\xi _{n}^{n1}1}1},\cdots ,\xi _{n}^{n,N)}\오른쪽)}$

제품 공간 $R{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 기준$$

${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+c\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+\sigma W_{n}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

어디에

${\displaystyle \xi _{0}^{{0}^{{0}1}{{0}^{{0}^{{0}}\오른쪽)\cdots \left(W_{n}^{1}{n}}^{{n}\오른쪽)}}}}}}\p.$

$X{\displaystyle {\stackrel{\text{'}}{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$ {$X}_$${\displaystyle \{}$$0}$과 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{};}$ n$;$\$displaystyle W_{n};n\geqslant 1,}$의 N 독립 복사본을 나타낸다$$.일반 모델(예: 경계가 있는 Lipschitz 함수 a, b, c)의 경우 거의 확실한 정합성을 확보했다.

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}(dy),}$

경험적으로 보아

${\displaystyle \eta _{n}^{{n}={\frac {1}{{N}\sum _{j=1}^{{n}delta _{\xi_{n}^{n}}}}}}}}}}}}$

모든 경계 측정 가능 함수 f(예: cf)에 대해위의 디스플레이에서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 상태 x에서의 Dirac 측정을 의미한다.

연속 시간 평균 필드 모델

우리는 브라운관 표준 모션 ${\displaystyle {W_{}}_{}}$의$${\$displaystyle {\overline${W}$_{t_{n$}}}을($$를) 고려한다${\displaystyle {\stackrel{}{.}}_{}}$위너 과정)시간 메시 시퀀스에선 0에, 주어진 시간과 \cdots}단계 tn− tn− 1)h{\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h}.=0<>는 과목은 1<>⋯<>tn<>⋯{\displaystyle t_{0}=0<, t_{1}<, \cdots <, t_{n}< 평가 우리는 선택하 c())=-1{\displaystyle c())=x}에 방정식(1), 우리가 대신 김혜진입니다.()){\displaystyle$b(x)}$ and σ by ${\displaystyle b(x)\times h}$ and ${\displaystyle \sigma \times {\sqrt {h}}}$, and we write ${\displaystyle {\overline {X}}_{t_{n}}}$ instead of ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ the values of the random states evaluated at the time step ${\displaystyle t_n}$${\displaystyle t_{n}.$$}$ Recalling that ${\displaystyle \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)}$ are independent centered Gaussian random variables with variance ${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h,}$ the resulting equation can be rewritten in the following형

${\displaystyle {\overline {X}}_{t_{n+1}}-{\overline {X}}_{t_{n}}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t_{n}}\right)\right)b({\overline {X}}_{t_{n}})h+\sigma \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)}$

(4)

h → 0일 때 위의 방정식은 비선형 확산과정에 수렴한다.

${\displaystyle d{\\overline {X}_{t}_{t}\오른쪽)b({\overline {X}_{t}\right)b({\overline {X}_{t}d}\sigma d{\overline {W}_{t}}}}}}{{t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

The mean field continuous time model associated with these nonlinear diffusions is the (interacting) diffusion process ${\displaystyle \xi _{t}^{(N)}=\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ on the product space ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ defined가 지나가다

${\displaystyle d\xi _{t}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)+\sigma d{\overline {W}}_{t}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

어디에

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left({\overline {W}}_{t}^{1},\cdots ,{\overline {W}}_{t}^{N}\right)}$

$X$의${\displaystyle {\stackrel{}{}0}_{\mathrm{}}}$ ${\$ {$X}_$${0}$ 및 ${\displaystyle W_{}}$의${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$.${\displaystyle {\overline${W}$_{t}}}}$ 일반 모델의 경우$$(예: 경계 Lipschitz 함수 a, b) 거의 확실한 정합성을 확보했다.

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{t})\righ$$t)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}(dy$

$\eta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle \text{법}({\stackrel{}{}}_{}}$¯' ${\displaystyle t_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \eta _{t}={\text{Law}}\왼쪽({\overline{X}_{t}\오른쪽$) 및$$경험적 조치$$.

${\displaystyle \eta _{t}^{{N}={\frac {1}{{N}\sum _{j=1}^{n}\delta _{\xi_{t}^{{{n,i)}}}}}}}}}$

경계 측정 가능 함수 f(^[7]예: cf).이러한 비선형 Markov 프로세스와 평균장 입자 해석은 상호 작용하는 점프-확산 프로세스로^{[1][2][23][25]} 확장될 수 있다.

참조

외부 링크