일반화 정규 분포

일반화된 정규 분포 또는 일반화된 가우스 분포(GGD)는 실제 선의 두 모수 연속 확률 분포 중 하나이다.두 패밀리는 정규 분포에 형상 모수를 추가한다.두 가문을 구분하기 위해 아래를 "버전 1"과 "버전 2"라고 한다.그러나 이것은 표준 명칭이 아니다.null

버전 1

일반화 정규 분포(버전 1)

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	$[\$ 위치$$(실제) ${\displaystyle \alpha }$ ${\$척도$$(양수, 실제) ${\displaystyle \beta }$ ${\$ 모양$$(양수, 실제)
지원	$(-\displaystyle x\in (-\in-\in)+\inflit )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\beta}{2\alpha \Gamma(1/\beta )}\;e^{-(x-\mu /\alpha )^{\beta }}}}$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma$}은$($는) 감마 함수를 나타낸다.
CDF	어디에 k{k\displaystyle}형 파라미터와θ{\theta\displaystyle}12+신호()− μ)2대 1Γ(1k)γ(1k,)θ k){\displaystyle{\frac{1}{2}}+{\frac{{\text{서명}}(x-\mu)}{2}}{\frac{1}{\Gamma \left({\frac{1}{k}}\right)}}\gamma \left({\frac{1}{k}},x\theta ^{k}\right)}[1].$$ is a rate parameter. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\text{sign}}(x-\mu ){\frac {1}{2\Gamma (1/\beta )}}\gamma \left(1/\beta ,\left {\frac {x-\mu }{\alpha }}\right ^{\beta }\right)}$ 여기서 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$beta$}은$($는) 형상 매개변수, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ \}은$$(는$)$ 척도 매개변수, $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ \}은$($는) 비정규화된 불완전한 하부 감마함수다.
퀀틸레	${\displaystyle {\text{sign}(p-0.5)F^{-1}\왼쪽(2p-0.5 ;{\frac {1}{\beta }},{\frac {1}{\frac {1}{\alpha ^{\beta }}\오른쪽)^{1/\beta }+\mu }$ 여기서 $F{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}p}$; ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle }$b${\displaystyle }$) ${\$ F$^{-1}\좌측(p;a,b\오른쪽)$은 감마 분포의[1] 계량 함수다.
평균	$\displaystyle \mu \,}$
중앙값	$\displaystyle \mu \,}$
모드	$\displaystyle \mu \,}$
분산	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}\Gamma(3/\beta )}{\Gamma(1/\beta )}}}$
왜도	0
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle {\frac {\beta (5/\beta )\gamma (1/\beta )}{\gamma (3/\beta )^{2}}-3}$
엔트로피	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }-\log \왼쪽[{\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}\오른쪽]}$[2]

지수 분포 또는 일반화된 오차 분포라고도 하며, 이는 대칭 분포의 모수 계열이다.여기에는 모든 정규 분포와 라플라스 분포가 포함되며, 제한 사례로서 실제 선의 경계 간격에 대한 모든 연속적인 균일 분포가 포함된다.null

이 패밀리는 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\$평균 $\mu {\displaystyle }$ ${\$ 및$$ 분산 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ 2 ${\${\$alpha$^{$2$일 때의 정규 분포를 $포함$하며,$β$ = 1 ${\$\display \$textstytextstytextstyption$ stytextstyption =$$$\$textstytype \base \$back$${\displaystyle \beta }$→ $∞[\$$$$\},$ 밀도는 점방향으로${\displaystyle }$($μ$ -$α$+$α$)에 균일한 $밀도$로 수렴된다$.$

이 계열은 꼬리가 정상보다 무겁거나(< ${\displaystyle \beta <2$ 정상보다 가볍거나(> 2 ${\displaystyle \beta >2}).$It is a useful way to parametrize a continuum of symmetric, platykurtic densities spanning from the normal (${\displaystyle \textstyle \beta =2}$) to the uniform density (${\displaystyle \textstyle \beta =\infty }$), and a continuum of symmetric, leptokurtic densities spanning from the Laplace (${\displays$$tyle \textstyle \cHB$=1$} 정규$ 밀도(${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\$에 도달$.$null

모수 추정

최대우도 및 모멘트 방법을 통한 모수 추정이 연구되었다.^[3]추정치는 폐쇄형 형식이 아니므로 반드시 숫자로 구해야 한다.수치 계산이 필요 없는 추정기도 제안됐다.^[4]null

일반화된 정상 로그 우도 함수는 $\beta {\displaystyle }$ ${\$}이$($가) 양의 짝수인 경우에만$$ 무한히 많은 연속 유도체(즉, 매끄러운 함수의 등급^∞ C에 속한다)를 갖는다.그렇지 않으면, 함수에는${\displaystyle }$continuous ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\$ 연속$$ 파생상품이 있다.결과적으로 $\beta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \beta }$의 최대우도 추정치의 일관성 및 점근성 정규성에 대한 표준 결과는 $\beta {\displaystyle }$ β 2${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ 2 ${\$ 2$\}$인 경우에만 적용된다$$.

최대우도 추정기

대략적인 최대우도법을 채택하여 일반화된 정규 분포를 적합시킬 수 있다.^[5][6]$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 처음에 샘플 첫 번째 순간 m ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}로 설정된 상태에서, $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta {}_{}}$ ${\$의 초기 추측부터 뉴턴-Raphson 반복 절차를 사용하여 추정한다$$.

${\displaystyle \property_{0}={\frac {m_{1}:{\sqrt{m_{2}},}$

어디에

${\displaystyle m_{1}={1 \over N}\sum _{i=1}^{{N} x_{i},}$

절대값의 첫 번째 통계 모멘트, $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$ 두 번째 통계 모멘트다.반복은

${\displaystyle \property_{i+1}=\property_{i}-{i}-{g(\frac(\frac _{i}){g'}},}$

어디에

${\displaystyle g(\beta )=1+{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta }}-{\frac {\sum _{i=1}^{N} x_{i}-\mu ^{\beta }\log x_{i}-\mu }{\sum _{i=1}^{N} x_{i}-\mu ^{\beta }}}+{\frac {\log({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N} x_{i}-\mu ^{\beta })}{\beta }},}$

그리고

${\displaystyle{\begin{정렬}(\beta)={}&, -{\frac{\psi(1/\beta)}{\beta ^{2}}}-{\frac{\psi '(1/\beta)}{\beta ^{3}}}+{\frac{1}{\beta ^{2}}}-{\frac{\sum_{i=1}^{N}x_{나는}-\mu ^ᆹ(\log x_{나는}-\mu)^{2}}{\sum_{i=1}^{N}x_{나는}-\mu ^{\beta}}}\\[6pt]&,{}+{\frac{{2\left(\sum_{i=1}^{N}x_{나는}-\mu{\beta}\logx_^{나는}-\mu\right)^.}}{\left(\sum _{i=1}^{N} x_{i}-\mu ^{\beta }\right)^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{N} x_{i}-\mu ^{\beta }\log x_{i}-\mu }{\beta \sum _{i=1}^{N} x_{i}-\mu ^{\beta }}}\\[6pt]&{}-{\frac {\log \left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N} x_{i}-\mu ^{\beta }\right)}{\beta ^{2}}},\end{aligned}}}$

여기서 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$과(와$)$ {\$displaystyle \psi '}$은(는) 디감마 함수와 삼각함수다.null

$\beta {\displaystyle }$ ${\$ $\}$에 대한 값을 지정하면 다음 최소값을 찾아$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을(를) 추정할 수 있다.

${\displaystyle \min _{\mu }=\sum _{i=1}^{{N} x_{i}-\mu ^{\beta }}}}}}}$

마지막으로 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$을(를) 다음과 같이 평가한다$$.

${\displaystyle \alpha =\왼쪽({\frac {\beta }{{N}\sum _{i=1}^{N}x_{i}-\mu ^{\beta }\right)^{1/\beta }}}}$

$\beta {\displaystyle }$β ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta \leq$ 1$\}$의 경우, 중위수는 $\mu s{\displaystyle }${\$displaystyle \mu$$$}의 추정치가 보다$$ 적절하다.$$ 일단 $\mu s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$과 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystylepha }$은 위에서 설명한 대로 추정할 수 있다$$.^[7]

적용들

일반화된 정규 분포의 이 버전은 평균 주위의 값들의 집중과 꼬리 동작이 특히 관심이 있을 때 모델링에 사용되었다.^[8][9]정규성으로부터의 다른 편차에 초점을 맞춘다면 다른 분포 집단을 사용할 수 있다.분포의 대칭성이 주된 관심사라면 아래에서 논의한 일반화된 정상가족의 스큐 정상가족 또는 버전 2를 사용할 수 있다.꼬리 행동이 주된 관심사라면 학생 t 패밀리를 사용할 수 있는데, 이는 자유도가 무한대로 커짐에 따라 정상적인 분포에 가깝다.t 분포는 이러한 일반화된 정규 분포와 달리 원점에서 정지를 획득하지 않고 정상 꼬리보다 무거운 꼬리를 얻는다.null

특성.

순간

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$beta$ $}}$ 형상 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ 및 스케일링$$ 파라미터 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $}}$의 평균 일반화된 가우스 분포가 되게$$ $두십시오{\displaystyle {}_{}}$.$$ X ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$ X_${\{\$1 이상의 k에 대해 유한합니다$$.음이 아닌 정수 k에 대해, 평이한 중앙 모멘트는^[2]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{\beta }^{k}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}k{\text{ is odd,}}\\\alpha ^{k}\Gamma \left({\frac {k+1}{\beta }}\right){\Big /}\,\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}\right)&{\text{if }}k{\text{ is even.}}}\end{case}}$

안정적인 카운트 분포에 대한 연결

안정 카운트 분포의 관점에서 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) 레비의 안정성 파라미터로 간주할 수 있다$$.이 분포는 커널 밀도의 적분으로 분해될 수 있으며, 커널이 라플라스 분포 또는 가우스 분포인 경우:

${\displaystyle{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\Gamma({\frac{1}{\beta}}+1)}}e^{-z^{\beta}}={\begin{경우}\displaystyle \int _{0}^{\infty}{\frac{1}{\nu}}\left({\frac{1}{2}}e^{-z/\nu}\right){\mathfrak{N}}_ᆶ(\nu)\,d\nu ,&, 1\geq \beta<>를 사용하여 0;{\text{또는}}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty}{\frac{1}{s}}\left({\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-.{\frac{1}{2}}(z/s)^{2}}\오른쪽)V_{\beta }\s\,ds,&2\geq \beta >0;\end{case}}}$

여기서 $N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ $){\displaystyle {\mathfak{N}_{\beta }(\nu )$는 안정 카운트 분포이고 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}s}$ )${\displaystyle V_{\beta }s}$s}은$$ 안정 볼륨 분포다.null

양의 정의 함수에 대한 연결

이 버전의 일반화된 정규 분포의 확률밀도함수는 β${\displaystyle }$β(0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \beta \in (0,2]}$에 대한 양-확정 함수다$.$^[10][11]

무한불가성

일반화된 가우스 분포의 이 버전은 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$] ${\displaystyle \cup }${ 2 ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \beta \in (0,1]\cup \{2\}}}$인 경우에만 무한히 분할할 수 있는 분포다$.$^[12]

일반화

다변량 일반화된 정규 분포, $즉{\displaystyle }$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ 및$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }}$ 매개변수가$$ 동일한 n ${\displaystyle n}$ 지수$$ 분포의 산물은 $p{\displaystyle (x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g(\Vert }$ x${\displaystyle {}_{\beta }}$) ${\displaystystyle p(\m$) 형식으로 작성할 수 있는 유일한 확률 밀도)이다.$hbf {x} )=g(\ \mathbf {x}$\$_\\mathbf }}$은(는) 독립된 여백을 가지고 있다.^[13]다변량 정규 분포의 특수한 경우에 대한 결과는 원래 맥스웰에 기인한다.^[14]null

버전 2

일반화 정규 분포(버전 2)

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle \xi }$ ${\$위치$$(실제) ${\displaystyle \alpha }$ ${\$척도$$(양수, 실제) ${\displaystyle \kappa }$ ${\$ 모양$$(실제)
지원	${\displaystyle x\in(-\inflt,\xi +\filency /\kappa ){\text{{}\cappa >0}$ ${\displaystyle x\in(-\in)(\inflt ,\inflt ){\text{{}\cappa =0}$ ${\displaystyle x\in (\xi +\infilency /\kappa ;+\inful ){\text{}}}}}}{}\cappa <0}$
PDF	${\displaystyle \frac{\varphi }{}}$( ${\displaystyle \frac{y}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$( x -${\displaystyle \frac{\xi }{}}$) ${\$ -$\kappa (x-\xi$ $)\},$ 여기서 ${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}}$ ${\displaystyle }$▼ ${\displaystyle \phi }$이(가) 표준 일반 PDF임
CDF	${\displaystyle \mathrm{\phi }}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \Phi (y$ 여기서 ${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \Phi }$은(는) 표준 normalCDF이다.
평균	${\displaystyle \xi -{\frac {\data }{\kappa }}}}{\capa }왼쪽(e^{\capa ^{2}/2}-1\right)$
중앙값	${\displaystyle \xi \,}$
분산	${\displaystyle {\frac {\property ^{2}}: {2}}: e^{\kappa ^{2}}: 왼쪽(e^{\cappa ^{2}}-1\오른쪽)}}$
왜도	${\displaystyle {\frac{3e^{\kappa ^{2}}-e^{3\cappa ^{2}}:{{2}}:{3/2}}:{\text sign}}(\cappa )}$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle e^{4\kappa ^{2}}+2e^{3\kappa ^{2}}+3e^{2\kappa ^{2}}-6}$

이는 형상 모수를 사용하여 스큐를 도입할 수 있는 연속 확률 분포의 계열이다.^[15][16]형상 모수가 0이면 정규 분포를 따른다.형상 모수의 양의 값은 오른쪽으로 치우친 분포를 산출하고, 형상 모수의 음의 값은 왼쪽으로 치우친 분포를 산출한다.형상 모수가 0인 경우에만 전체 실제 선에 대해 양수 분포의 밀도 함수가 된다. 이 경우 분포는 정규 분포로, 그렇지 않으면 분포가 이동되고 로그 정규 분포를 역전시킬 수 있다.null

모수 추정

모수는 최대우도 추정 또는 모멘트 방법을 통해 추정할 수 있다.모수 추정치는 닫힌 형식이 없으므로 수치 계산을 사용하여 추정치를 계산해야 한다.표본 공간(밀도가 0이 아닌 실제 숫자의 집합)은 모수의 실제 값에 따라 달라지기 때문에, 모수 추정치의 성능에 대한 일부 표준 결과는 이 패밀리와 함께 작업할 때 자동으로 적용되지 않는다.null

적용들

이 분포의 집단은 정규 분포에 대해 오른쪽으로 치우치거나 왼쪽으로 치우칠 수 있는 값을 모형화하는 데 사용될 수 있다.스큐 정규 분포는 스큐로 인한 정규성 편차를 모형화하는 데 유용한 또 다른 분포다.치우친 데이터를 모형화하는 데 사용되는 다른 분포에는 감마, 대수 정규 분포 및 Weibull 분포가 포함되지만, 이러한 분포에는 정규 분포가 특별한 경우로 포함되지 않는다.null

정규 분포와 관련된 기타 분포

여기서 설명하는 일반화된 정규 가족 2개는 스큐 정규 가족처럼 형상 모수를 추가하여 정규 분포를 확장하는 모수 가족이다.확률과 통계에서 정규 분포의 중심 역할 때문에 정규 분포와의 관계 측면에서 많은 분포를 특성화할 수 있다.예를 들어 로그 정규분포, 접힌 정규분포, 역 정규분포를 정규분포 값의 변환으로 정의하지만 일반화된 정규분포 및 스큐 정규분포와 달리 이러한 정규분포는 특별한 경우로서 정규분포를 포함하지 않는다.
실제로 분산이 유한한 모든 분포는 정규 분포와 높은 연관성이 있는 한계에 있다.학생-t 분포, 어윈-홀 분포 및 베이츠 분포도 정규 분포를 확장하고 한계에 정규 분포를 포함한다.따라서 학생-t와 정규화된 확장 Irwin-Hall의 조합에 대해 유형 1의 "일반화된" 정규 분포를 선호할 강력한 이유가 없다. 여기에는 예를 들어 삼각 분포(일반화된 가우스 유형 1로 모델링할 수 없음)가 포함된다.null
꼬리(긴 길이와 짧은 길이)와 중심 행동(평탄, 삼각 또는 가우스와 같은)을 완전히 독립적으로 모델링할 수 있는 대칭 분포는 예를 들어 X = IH/chi를 사용하여 도출할 수 있다.

참고 항목

• 복합정규 분포
• 스큐 정규 분포

참조